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Loudrasiel

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Série formelle à coefficient dans K((T))

Bonjour à tous, je suis actuellement en L3 et je travail sur un DM d'algèbre dans lequel je bloque sur l'interprétation d'une notion :
Dans cet exercice on nous pose un corps [tex]K[/tex], la première question nous demande de montrer que [tex]K[[T]][/tex] est intègre et que [tex]I := TK[[T]][/tex] est son unique idéal maximal. Question que je pense avoir réussi à traiter en montrant que l'ensemble de éléments irréductible de [tex]K[[T]][/tex] est donné par [tex](T) = TK[[T]].[/tex]
Par la suite, on nous défini l'application [tex]v : K[[T]] \to \mathbb{N} [/tex] par [tex]v_T(x) = max\{n \in \mathbb{N} \mid x \in I^n\} [/tex] et [tex]d_T(x,y) := 2^{v_T(x-y)}[/tex].
On considère finalement [tex]A = K((T))\lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex] et [tex]B = K((S))[[T]][/tex] et on nous demande si les suites [tex]((S + T)^n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] et [tex]((T+ T^2S)^n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] sont de cauchy dans [tex]A[/tex] par rapport à [tex]d_T[/tex] ou dans [tex]B[/tex] par rapport à [tex]d_S[/tex].
En nous rappelant que [tex]K((T))[/tex] est le corps des fractions de [tex]K[[T]][/tex] je comprends que [tex]K((T)) \lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex] désigne le corps des série formelle à coefficient dans le corps [tex]K((T))[/tex].

Là où je bloque, c'est d'une part comment proprement représenter un élément de [tex]K((T)) \lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex], j'imagine que les élément devraient être de la forme [tex]P(S,T) = \sum_{i=0}^nQ_i(S)T^i[/tex] où [tex]Q_i(S) \in K((S))[/tex] donc est de la forme [tex]Q_i(S) = \frac{U_i(S)}{V_i(S)}[/tex] pour [tex]U_i, V_i \in K\lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex] mais je ne suis pas certain de celà et j'ignore comment m'en servire convenablement dans ce contexte...
et d'autre part, je ne suis pas certains de cerner ce qui change lorsque l'on permute [tex]S[/tex] et [tex]T[/tex]

Merci par avance pour vos réponse, par ailleurs, si vous connaissez de ressources traitant de l'étude de [tex]K((S))[[T]][/tex] et/ou [tex]K((T))\lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex], je suis également preneur !

DeGeer

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Re : Série formelle à coefficient dans K((T))

Bonjour
J'ai l'impression que le mieux pour démontrer que $K[[T]]$ est intègre est de raisonner sur l'ordre des séries formelles (le plus petit coefficient non nul). Pour montrer que $TK[[T]]$ est l'unique idéal maximal, on peut commencer par montrer que c'est un idéal maximal en remarquant qu'un idéal plus grand pour l'inclusion contient nécessairement les constantes non nulles, qui sont inversibles car $K$ est un corps, puis qu'un idéal maximal est forcément inclus dans $TK[[T]]$.
Je ne comprends pas vraiment ta définition de $v_T$ : est-ce que $I^n=T^nK[[T]]$? De plus, j'ai l'impression que dans ta définition de $d_T$, on devrait avoir $d_T(x,y)=2^{-v_T(x-y)}$ pour avoir une distance, avec la convention $2^{-\infty}=0$.
Ensuite, j'ai l'impression que $A$ est muni de la distance $d_S$ et $B$ de la distance $d_T$.
Un élément de $K((T))[[S ]]$ est une série formelle $\sum_i\frac{P_i(T)}{Q_i(T)}S^i$ où les $P_i(T)$ et $Q_i(T)$ sont des séries formelles sur $K$.

Dernière modification par DeGeer (28-02-2026 14:02:21)

Michel Coste

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Re : Série formelle à coefficient dans K((T))

Bonsoir,
Comme $I$ est l'idéal principal engendré par $T$, bien sûr $I^n$,  la puissance $n$-ème de l'idéal $I$, est l'idéal principal engendré par $T^n$. Je suis d'accord qu'il manque le signe $-$ dans la définition de la distance.
Enfin, le corps $K((T))$ est le corps des $\sum_{n=n_0}^\infty a_nT^n$ où $n_0\in \mathbb Z$ (autrement dit, des séries de Laurent avec un nombre fini de puissances négatives de la variables).

Loudrasiel

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Re : Série formelle à coefficient dans K((T))

Bonsoir,
Merci à vous pour vos réponse, effectivement, il y avait une coquille dans mon latex lorsque j'ai écris ce message j'en suis navré. J'ai réussi à traiter le problème à force de me creser la tête et effectivement la distance tend vers 0 si c'est de cauchy. Merci pour vos message, je ferais plus attention la prochaine fois à mieux développer ma problématique s'il m'arrive à nouveau d'écrire ici.