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LefilsdeNewton

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Sujet d'oral vraiment pas évident

Salut à tous je suis élève de prépa en filière PC et récemment je suis tombé sur un sujet d'oral assez étonnant, la consigne était de déterminer l'ensemble des fonctions C infini de R dans R telles que f'(x)=f(f(x)), je n'ai réussi qu'à donner des résultats dans les cas ou f est affine ou constante mais rien d'autres et je n'ai à ce jour trouvé aucune correction , des idées ?

DeGeer

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Re : Sujet d'oral vraiment pas évident

Bonjour
Tu peux essayer de voir ce qui se passe en supposant $f$ polynomiale.

Glozi

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Re : Sujet d'oral vraiment pas évident

Bonjour,
J'étais tombé sur cette question il y a un petit moment, en travaillant un peu on peut montrer les choses suivantes sur $f$ solution :
a) $f$ admet forcément un point fixe.
b) $f$ n'admet aucun point fixe strictement positif.
c) $f$ est forcément strictement décroissante (et avec ce qui précède elle admet donc un unique point fixe négatif (ou nul))
d) si $0$ est un point fixe alors $f$ est la fonction nulle (penser au lemme de Gronwall).

Ensuite si $a>0$ on peut se demander s'il existe une solution avec $f(-a)=-a$. À l'époque, j'étais bloqué à cet endroit et je cherchais une contradiction mais finalement j'étais tombé sur ce lien math.sta ckexchange.com/questions/408004/does-a-non-trivial-solution-exist-for-fx-ffx (enlever l'espace dans le lien) qui donne une construction très astucieuse d'une telle fonction !

À moins qu'il y ait une piste plus simple (que je ne vois pas), je trouve ça un peu rude pour un oral !

Bonne journée

DeGeer

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Re : Sujet d'oral vraiment pas évident

Après quelques recherches, je suis tombé sur cet article, qui parle du sujet, mais de manière plus générale : Smooth Solutions of Iterative Functional Differential Equations.
Sinon, dans les sujets d'oraux, j'ai vu un exercice où il s'agissait de démontrer qu'une solution $\mathcal{C}^1$ de ton équation ne pouvait pas être strictement croissante.