Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Le calcul avec les nombres duaux ne nécessite pas tout l'attirail de l'analyse non standard. Les nombres duaux ont été introduits il y a bien plus longtemps. Ce sont les nombres de la forme [tex]a+\epsilon b[/tex] où [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] sont réels et [tex]\epsilon^2=0[/tex]. C'est donc bien différent de l'analyse non standard où les infinitésimaux ne sont pas de carré nul.
Pour l'exercice que je proposais et pour  [tex]x\neq0[/tex] :
[tex]\dfrac1{x+\epsilon}=\dfrac{x-\epsilon}{(x+\epsilon)(x-\epsilon)}=\dfrac{x-\epsilon}{x^2}=\dfrac1x +\epsilon\left(\dfrac{-1}{x^2}\right)[/tex]
Les égalités ici sont de vraies égalités.

Bonjour,
comment calculer à la main 12x-18/15

Merci d'avance

Pour résoudre ce problème, vous pouvez utiliser la méthode de résolution d'équations différentielles.

Tout d'abord, remarquez que la fonction f(x) apparaît sur les deux côtés de l'équation. Cela signifie que vous pouvez isoler f(x) en la déplaçant du côté droit de l'équation. Vous obtenez alors :

f(x) = (2x + 3*f(1-x)) / 5

Ensuite, vous pouvez remarquer que la fonction f(1-x) apparaît sur le côté droit de l'équation. Vous pouvez donc utiliser cette équation récursivement pour exprimer f(x) en fonction de x. Par exemple, si vous remplacez f(1-x) par f(x) dans l'équation ci-dessus, vous obtenez:

f(x) = (2x + 3*f(x)) / 5

En résolvant cette équation, vous trouvez que f(x) = (2x) / 2 = x.

Voici donc une solution pour f(x) : f(x) = x.

J'espère que cela vous aidera à résoudre ce problème !

Bonjour,

Un point sur le binaire.
Un nombre est composé d'octets : 1 octet représente 8 chiffres (pris parmi 0 et 1)
Plus petit nombre composé d'un octet : 0.
Un octet est représenté dans 1 tableau de 8 cases, chaque case se nomme bit (Attention à ne pas confondre, le mot anglais pour octet est byte.                                       
Voilà l'octet correspondant :
_______________
|0|0|0|0|0|0|0|0|
Plus grand nombre composé d'un octet : 255
Voilà l'octet correspondant :
_______________
|1|1|1|1|1|1|1|1|
chaque case a une valeur de 1 ou 0, multipliés par (de gauche à droite)
$2^7,\,2^6,\,2^5,\,2^4,\,2^3,\,2^2,\,2^1,\,2^0$
soit
$128,\,64,\,32,\,16,\,8,\,4,\,2,\,1$
Donc,
$128\times 1+64\times 1+32\times 1+16\times 1+\times 1+4\times 1+2\times 1+1\times 1= 128+64+32+16+8+4+2+1=255$

Autre exemple :
|1|0|0|1|0|0|1|1| c'est à dire 128+0+0+16+0+0+2+1 = 147
Contrôle avec Python...
Python convertit en binaire mais affiche une chaîne de caractères, pas un nombre :

print(bin(147))
 

Réponse :
0b10010011 le 0b indique que ce qui suit est du binaire.
Si je veux ne pas afficher le 0b, je tape :

print(bin(147)[2:])
 

qui affiche
10010011
Si je cherche la plus grande puissance de 2 contenue dans 147, je trouve 7 (2**7 =128).
Le 1er chiffre du nombre binaire est 1 dans la 8e case, le 8e bit (on compte de droite à gauche).
Le 8e bit est la puissance 7 de 2
32 est 2**5. La puissance 5 est dans le 6e bit
8 est 2**3. La puissance 3 est dans le 4e bit.
Ne pas oublier que droite à gauche les bits valent 0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7  de 0 à 7, il y a bien 8 chiffres...

Alors, voyons de façon détaillée comment fonctionne la fonction : binaire(n).
Soit n = 58.
m= plus_grande_puiss_2(58)=5 ($2^5=32$ mais $2^6=64$ donc c'est 5).
Donc m = 5... et c'est la puissance maximum.
Ici, les puissances peuvent varier de 5 à 0 : soit 6 puissances possibles et donc 6 éléments dans la liste (5+1)
Là, on crée la liste L qui commence par 1 :
Quel que soit le nombre (autre que 0, bien sûr), dans n'importe quelle base, il commence par un chiffre de 1 à 9, jamais par un 0...
Donc on ajoute à la liste [1], une liste contenant m zéros (ici 5 zéros : [0]*5 --> [0,0,0,0,0]).
Et on calcule le nouveau n : n =58 - 2^5 = 58 -32 =26 (En Python, n-2**m)
On entre dans la boucle : while n!=0:
(Tant que n est différent de zéro : c'est la condition, le test de sortie de la boucle. Cette sortie ne se produira que si - après calcul - le nouveau n vaut 0)
Avant d'entrer dans la boucle, la liste L est donc [1,0,0,0,0,0] (elle comprend 6 éléments) et n=26...
26 est différent de 0, on entre dans la boucle...
Et on va s'occuper dans l'ordre, des 2e, 3e, 4e, 5e, 6e élément, donc de L[1], L[2], L[3], L[4], L[5] : ne pas perdre de vue qu'en Python les indices commencent à 0 : le 1er élément a donc l'indice 0...
En fait, les éléments valent 1 ou 0...
Donc, on n'a besoin que d'écrire 1, si c'est 0, on l'a déjà, pas besoin de s'en occuper...

Poursuivons...
A peine entré dans la boucle, on cherche p la plus grande_puissance de 2 contenue dans n=26, c'est p=4.
(Encore une fois 2**4 = 16  et 2**5 = 32 et on a bien 16 <26 <32.
Donc il faut mettre 1 pour la puissance 4, dans la liste...
Cette puissance 4 est juste avant la puissance 5.
La puissance 5 est dans la première case, dans L[0]...
Donc le 1 pour 2**4 va être dans L[1]...
Comment trouver l'indice 1 ?

L'indice est 0 pour la puissance 5.
Donc 5, puissance maxi --> il y a 1 à l'indice 0 (L[0]=1)
Et on en vient à m-p
puissance 5 (maxi) et indice 0 : L[0] =1
puissance 4 : elle suit immédiatement (comme dans un octet) la puissance 5 donc --> L[1]=1...
et 1 = 5 - 4...
Il faut vérifier si ça marche toujours...
On a maintenant L= [1,1,0,0,0,0]

Et on calcule 26-2**4= 26 - 16 = 10
plus grande puissance de 2 contenue dans 10 ? Réponse : p=3... 2**3=8
la puissance 3 précède la puissance 4, le 1 pour pour la puissance 4 est en L[1] donc le 1 pour la puissance 3 sera en L[2] et m-p = 5-3=2
Ça marche...
L=[1,1,1,0,0,0]
Et on calcule  n = 10 - 2**3 =10 - 8 =2.

Plus grande puissance de 2 contenue dans 2 : Réponse p =1
Normalement, on met 1 dans L[5 -1) soit L[4]...
La puissance 1 est avant la puissance 2 qui était avant la puissance 3, donc on doit sauter une case et passer de L[2] à L[4]...
Donc L[4]=1, la case L[3] restant donc à 0...
Enfin n=2-2**1 =0 : la condition n!=0 (rappel en maths c'est $n\neq 0$) n'étant plus remplie on sort de la boucle sans toucher à L[5] qui reste à 0.
On a donc L= qu'on écrit $\overline {11010}^2$...
Le L[m-p] est une grande subtilité : si on n'a pas l'habitude jouer avec les indices des listes, et c'est le cas des débutants, non seulement on ne le trouve pas, mais on a ta réaction : << Je comprends pas pourquoi ce m-p >> !

En résumé m étant fixé (m=5), l'exposant p décroissant de 5 à 1, m-p croît de 0 à 4...
m-p étant l'indice des 1 dans L, on avance donc L[0] à L[4].
Les 1 et les 0 étant rangés dans le bon ordre (celui des bits des octets), il n'y a pas besoin de renverser l'ordre de la liste à la fin.

Question subsidiaire:
Python est-il capable de passer de L=[1,1,1,0,1,0] au nombre $\overline{111010}^2$ ?
Oui, 3 méthodes
1. Basique (mais je joue avec les indices)

L=[1,1,1,0,1,0]
nb=0
for i in range(0,6):
    nb=nb+L[i]*10**(5-i)
print(nb)
 

qui me donne
111010

2. Un peu plus évoluée (et un peu plus rapide et pythonesque)

nb,L=0,[1,1,1,0,1,0]
for i,c in enumerate (L):
    nb+=c*10**(5-i)
print(nb)
 

., mais c'est plus long...

ch,L="",[1,1,1,0,1,0]
L=[str(i) for i in L] # Conversion de chaque élément de L en une chaîne (string).
ch="".join(L) # méthode qui ne fonctionne qu'avec des chaînes...
print(ch)
 

Question(s) ?

@Black Jack
Ton code me chiffonne :

def binaire (n) :
       L=[]
       while n >= 1 :
            r  = n%2
            n = int(n/2)
            L.append(r)
            rev_L = L[::-1]
       return (rev_L)

Pourtant, ton code fonctionne aussi, je n'ai pas réussi à le prendre en défaut...
Parce que j'écrirais plutôt :

def binaire (n) :
       L=[]
       while n >= 1 :
            r  = n%2
            n = int(n/2)
            L.append(r)
       rev_L = L[::-1]
       return (rev_L)

@+

YES !

Mais qu'entend-on par "un" parallélogramme ? ... un "vrai" non aplati ?

Dans ce cas on est amené à discuter éventuellement de l'impossibilité d'en construire un ... ?

C'est juste pour chercher la "petite bête" ... (:-))

B-m

YES !

Mais qu'entend-on par "un" parallélogramme ? ... un "vrai" non aplati ?

Dans ce cas on est amené à discuter éventuellement de l'impossibilité d'en construire un ... ?

C'est juste pour chercher la "petite bête" ... (:-))

B-m

Bonsoir,
Cette méthode ne sera pas valide dans le cas $r=r'$