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elmaths

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Deux cercles et un parallélogramme

Salut à tous. Qui a une idée?

Soit $(\mathcal{C})$ et  $(\mathcal{C}')$ deux cercles différents.
Soit $M$ et $N$ deux points tels que $M\in (\mathcal{C})$ et $N\in (\mathcal{C}')$.

Construire un parallélogramme $MNPQ$ sachant que $P\in (\mathcal{C}')$  et $Q\in (\mathcal{C})$.

Black Jack

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Bonjour,

Essaie de comprendre ce qui a été fait sur le dessin ...

En bleu, c'est tout ce qui est connu. (les 2 cercles C et C' et les points M et N)

Le reste est de la construction, qui permet de trouver les points P et Q.

elmaths

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Bonsoir,
Cette méthode ne sera pas valide dans le cas $r=r'$

elmaths

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Si $r=r'$ c'est simple de construire $P$ et $Q$
$P$ le symétrique de $N$ par rapport à $O'$
$Q$ le symétrique de $M$ par rapport à $O$

Bernard-maths

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Bonsoir !

Et fin de bon Noêl ...

Les points M et N sont-ils arbitraires, mais donnés, sur les 2 cercles ?

@ + B-m

Bernard-maths

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Bonjour !

... car il semble y avoir pas mal de cas particuliers ...

Par exemple, si [MN] est sur la droite des centres (OO'), le parallélogramme est aplati ...

@+, B-m

Black Jack

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Bonsoir,
Cette méthode ne sera pas valide dans le cas $r=r'$

Bonjour,

Mais si ... (ce qui ne signifie pas qu'on ne peut pas faire autrement)

Bernard-maths

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Bonjour !

Il s'agit "simplement" de compter le nombre de solutions suivant la configuration de C et C' ...

... de 1, 2 ... infini ... ou 0 si on veut un "vrai" parallélogramme.

Dernière modification par Bernard-maths (26-12-2022 12:13:56)

Black Jack

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Bonjour !

Il s'agit "simplement" de compter le nombre de solutions suivant la configuration de C et C' ...

... de 1, 2 ... infini ... ou 0 si on veut un "vrai" parallélogramme.

Bonjour,

Oui ...

Mais l'énoncé est "Construire un parallélogramme MNPQ"

yoshi

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Re,

si on veut un "vrai" parallélogramme

Un "vrai" parallélogramme ???
C'est quoi un vrai parallélogramme ?
Donc, il y en a des faux ! J'peux en voir un ? Dis Monsieur, sois sympa, tu veux bien m'en montrer un ?
Blague à part :
- Le losange est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires,
- Le losange est un parallélogramme qui a deux côté consécutifs de même longueur.

- Le rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit
- Le rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur

- Le carré est un "rectange", donc un rectangle avec les propriétés du losange, donc un parallélogramme plus ... etc.
- Le carré est un "losangle", donc un losange avec les propriétés du rectangle, donc un parallélogramme plus .etc.
  (oui, rectange et losangle sont des néologismes personnels).

Qu'est-ce qui nous reste ? Bin, le vilain petit canard... à savoir le Trapèze (ou encore le "parallélogramme aplati")! Lui, moi je ne peux pas l'inclure dans la famille des parallélogrammes, ni renverser les rôles (ça avait fait l'objet d'une longue discussion il y a quelques années - 15 - : elle devrait intéresser)

@+

Dernière modification par yoshi (26-12-2022 18:16:07)

Bernard-maths

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

YES !

Mais qu'entend-on par "un" parallélogramme ? ... un "vrai" non aplati ?

Dans ce cas on est amené à discuter éventuellement de l'impossibilité d'en construire un ... ?

C'est juste pour chercher la "petite bête" ... (:-))

B-m

Black Jack

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

YES !

Mais qu'entend-on par "un" parallélogramme ? ... un "vrai" non aplati ?

Dans ce cas on est amené à discuter éventuellement de l'impossibilité d'en construire un ... ?

C'est juste pour chercher la "petite bête" ... (:-))

B-m

YES !

Mais qu'entend-on par "un" parallélogramme ? ... un "vrai" non aplati ?

Dans ce cas on est amené à discuter éventuellement de l'impossibilité d'en construire un ... ?

C'est juste pour chercher la "petite bête" ... (:-))

B-m

Bonjour,

Mais qu'entend-on par "un" parallélogramme ? ... un "vrai" non aplati ?

Un vrai non aplati.

Avec les 2 cercles et les points M et N définis, on peut, je pense, toujours tracer un et un seul parallélogramme (non aplati) respectant les conditions imposées ...

Seule exception : si les 4 points (centres des 2 cercles, M et N) sont alignés, alors c'est impossible.

Sauf si je me trompe.

Bernard-maths

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Bonjour à tous !

Youpi, ça devient amusant ! Pas vu la remarque de Yoshi, qui a posté quelques instants avant moi ... lu la discussion ...

Je pense qu'il faut revenir à des bases "élémentaires" et "sensées". Un polygone est une suite ordonnée de points joints par des segments ...

Pour avoir un polygone "comme on les aime", il faut que dans la suite des points, il n'y en ait jamais 3 consécutifs alignés (revoir et préciser dans le Bib-dico !). Auquel cas on a une ligne brisée fermée dessinant le polygone. En fait on ne veut pas des polygones aplatis ou dégénérés : qui ne ne plus des polygones donc ! Ce que j'appelle un vrai polygone, c'est celui qui vérifie la définition ...

Si on se laisse aller à la définition donnée dans le Bib-dico, un parallélogramme a ses côtés opposés parallèle ... Alors, Monsieur Yoshi, voici un exemple de faux parallélogramme : ABCD avec les 4 points alignés AB=BC=CD et DA=AB+BC+CD ... Vu ? (:-) + ;-)) + ^^ ...

Alors, pour en revenir à l'exercice proposé par elmaths ...

Dans les remarques avec Black-Jack, on voit bien le rôle de la translation pour trouver 1 solution, ou une infinité !

Pour ma part, j'évoquais le cas des point M et N alignés sur la droite des centres (quand C et C' ne sont pas concentriques, ni de même rayon), je vous laisse découvrir le nombre possible de solutions (ni 1, ni l'infini ...)

Et si les 2 cercles sont concentriques ?

Sauf erreur de ma part ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (27-12-2022 12:06:41)

Bernard-maths

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Re : Deux cercles et un parallélogramme

Bonsoir !

En faisant une figure variable, on peut constater qu'il y a différents cas ...

Mais on peut chercher les intersections de C' avec l'image de C par la translation de vecteur MN.

Et voir les positions relatives de ces 2 derniers ...

B-m