Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Comment as-tu défini l'ensemble Z/nZ ?
Car généralement, on dit justement que c'est l'ensemble [tex]\{\overline k, k\in \mathbb Z\}[/tex], autrement dit que c'est l'image de ton application... (la notation [tex]\overline k[/tex] désignant la classe de congruence de k modulo n).
Sinon, plus généralement, pour démontrer qu'une application [tex]f:E\to F[/tex] est surjective, tu as raison, il faut (on peut) montrer que Im(f) = F...

Roro.

Parfait, continuons.

Tu peux donc répondre à la première question : l'ensemble des vecteurs x tels que <f(x),x>=0 est l'ensemble des vecteurs x=(a,b,c) tels que [tex]Kc^2=a^2+b^2[/tex].
Géométriquement, ce sous-ensemble de E est un cône (tu peux facilement le visualiser en faisant des "coupes" : l'intersection de ton ensemble avec les plans c=constante est un cercle...).

Passons à la seconde question : première remarque, d'après ce que tu as dû écrire à la première question tu peux facilement voir que pour avoir <f(x),x> > 0 tu dois nécessairement prendre [tex]c\neq 0[/tex] (avec la notation x=(a,b,c)). Et puis que la valeur de c n'est pas véritablement importante car tu pourras jouer sur K... bref essayes de construire une base orthonormée sous la forme suivante
e1=(a,b,1)
e2=(c,d,1)
e3=(e,f,1)
et tu devrais te rapprocher d'une réponse comme celle que je t'ai proposée dans mon premier mail.

Roro.

P.S. Pour Fred : tu as fais la même erreur que moi au début en lisant trop vite la deuxième question... il faut "seulement" que <f(e1),e1> soit strictement positif.

Bonsoir,

Ou bloques-tu exactement ?
Si tu bloques dès le début, essaies d'abord de montrer que [tex]\rho[/tex] est continue.
Je ne pense pas qu'il faille utiliser le théorème des accroissements finis... mais presque seulement les définitions d'une application continue !

Roro.

Bonsoir,

Es-tu d'accord avec ces deux égalités :

[tex]\displaystyle \prod_{i=1}^m (a f(i)) = a^m ~ \prod_{i=1}^m f(i)[/tex]

[tex]\displaystyle \prod_{i=1}^m (f(i)^b) = \left( \prod_{i=1}^m f(i) \right)^b[/tex]?

Avec ces deux résultats, tu devrais retrouver tes petits (d'ailleurs il me semble qu'il manque une puissance n juste avant le quatrième signe = de ton résultat.

Roro.

Bonjour pomolo,

Avant de calculer cette intégrale curviligne, je te conseille de vérifier si W n'est pas une forme différentielle fermée... donc une forme différentielle exacte sur ton ouvert U : W=df.

Le cercle étant une courbe fermée, tu en déduiras directement que ton intégrale est nulle.

Roro.

Bonsoir,

C'est effectivement un bonne piste que d'utiliser ce produit scalaire, encore faut-il savoir avec quels espaces vectoriels tu travailles.

Je te conseille de regarder l'espace des polynômes [tex]E=R_2[X][/tex], son sous-espace [tex]F=R_1[X][/tex] et de traduire ce que vaut la distance de [tex]P=X^2 \in E[/tex] à [tex]F[/tex] en utilisant le produit scalaire que tu proposes.

L'étape suivante sera de calculer effectivement l'inf... en utilisant une base orthonormée "adaptée" de l'espace [tex]E[/tex] mais je te laisse deviner comment !

Roro.

Bonsoir,

Quel résultat du cours te permet de dire que le terme "général" est [tex](\ln n)^2/ 2n^2[/tex] ?
En fait, dans le cas que tu regardes, c'est plutôt l'autre terme qu'il faut "garder" car [tex](\ln n)^2/ 2n^2[/tex] est négligeable devant [tex](\ln n)/ n[/tex] lorsque n tend vers l'infini.

Pour savoir quel terme garder, il faut que tu gardes le terme "prépondérant" au sens ou les autres seront négligeables devant celui-ci.

Roro.

Bonsoir,

Tu peux jeter un oeil sur ce lien que je viens de trouver sur le net :

http://www.latp.univ-mrs.fr/~mohsen/topo006.pdf

C'est peut être un peu compliqué mais tu dois pouvoir y trouver des choses intéressantes...

Roro.

Bonjour,

Moi j'aurai plutôt fais le changement t=cos(x) mais ça doit revenir au même : tu obtiens l'intégrale d'une fraction rationnelle, qui n'est pas trop "moche" :
[tex]\int_a^b \frac{1-t^2}{1+t^2} dt[/tex]

Ensuite tu décomposes en éléments simples :
[tex]\frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{-(1+t^2) + 2}{1+t^2} = -1 + \frac{2}{1+t^2}[/tex]

et tu devrais t'en sortir...

Roro.

Bonjour,

J'étais pas mal occupé ces derniers jours et je n'avais pas eu le temps de regarder ta réponse.

Si je comprend bien (ce qui est peu probable...), un mode propre de l'équation y'=P(y) serait une solution z telle qu'il existe un coefficient A et une période T pour lesquels z(t+T)=Az(t) pour tout t.

Lorsque l'équation est linéaire (P linéaire), il me semble qu'on arrive à trouver de tels modes mais lorsque P est plus compliqué alors là je suis plus perplexe (voir le P.S. en fin de message). A vrai dire je n'y connais pas grand chose sur ce type de problème mais si j'ai un peu de temps et que tu réponds à ce message je pourrais peut être un peu mieux comprendre ce qu'il y a derrière cette notion.

Roro.

P.S. Si z est ce que j'ai appelé un mode propre (ce qui n'est sans doute pas la définition usuelle) alors on a
z'(t+T) = A z'(t)
P(z(t+T)) = A P(z(t))
P(A z(t)) = A P(z(t)) ce qui assez incohérent...

Bonsoir,

Calcule [tex]A^2[/tex]... et ensuite dis nous ce que tu as essayé et ou est ce que tu bloques !

Roro.

Bonsoir,

Nerosson a un bon pif : l'ensemble des points de l'espace que Franklino cherche est effectivement un ellipsoïde de révolution, et ce n'est pas très difficile à démontrer.
Voici une façon de procéder (il y a peut être une façon plus élégante de procéder).

Etape 1 : Se convaincre que le problème admet une invariance par rotation autour de l'axe Terre-Lune : on se ramène à un problème dans un plan.
Etape 2 : On définit un repère orthogonal du plan en prenant comme origine la Terre, et comme point de coordonnée (1,0) la Lune.
Etape 3 : L'angle A sous lequel vous voyez la terre (de rayon [tex]R[/tex]) depuis un point de coordonnées (x,y) (hors de la terre) satisfait
[tex]\sin(A/2) = \frac{R}{\sqrt{x^2+y^2}}.[/tex].
Etape  4 : L'angle B sous lequel vous voyez la lune (de rayon [tex]r[/tex]) depuis ce même point de coordonnées (x,y) (hors de la lune) satisfait
[tex]\sin(B/2) = \frac{r}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}.[/tex].
Etape 5 : Les deux angles en question étant compris entre [tex]0[/tex] et [tex]\pi[/tex], dire qu'ils sont égaux est équivalent à dire que [tex]\sin(A/2) = \sin(B/2)[/tex].
Etape 6 : Mélanger ce qui est écrit au dessus et obtenir :
[tex](x-\delta)^2+y^2 = \left( \frac{r}{R}\delta \right)^2[/tex]
où [tex]\delta = \frac{1}{1-(r/R)^2}[/tex].

L'équation ci-dessus n'est rien d'autre que celle d'une ellipse : faite tourner l'axe Terre-Lune et vous obtenez l'oeuf de Nerosson...

Roro.

P.S. N'hésitez pas à refaire les calculs, ils sont sans doute faux...
P.P.S. Remarquer qu'en pratique [tex]\delta[/tex] est très proche de [tex]1[/tex] : l'ellipsoïde est presque une sphère collée à la lune !