Forum de mathématiques - Bibm@th.net

D'giu

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Espace euclidien

Bonjour,

j'ai quelques difficultés pour résoudre cet exercice:

[tex]\inf \int^{1}_{0}{\left({x}^{2}-\,ax\,-\,b\right)}^{2}dx[/tex] a et b réels

Je sais qu'il faut poser le produit scalaire:  [tex]\int^{1}_{0}fg[/tex]
et utiliser  [tex]d\left(x,F\right)=\,\inf {\,}_{y\in F}||x\,-\,y\,||[/tex]

Mais ensuite, je suis bloqué.

Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance.

Roro

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Re : Espace euclidien

Bonsoir,

C'est effectivement un bonne piste que d'utiliser ce produit scalaire, encore faut-il savoir avec quels espaces vectoriels tu travailles.

Je te conseille de regarder l'espace des polynômes [tex]E=R_2[X][/tex], son sous-espace [tex]F=R_1[X][/tex] et de traduire ce que vaut la distance de [tex]P=X^2 \in E[/tex] à [tex]F[/tex] en utilisant le produit scalaire que tu proposes.

L'étape suivante sera de calculer effectivement l'inf... en utilisant une base orthonormée "adaptée" de l'espace [tex]E[/tex] mais je te laisse deviner comment !

Roro.

D'giu

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Re : Espace euclidien

Le problème c'est que je ne sais pas comment traduire le distance de P à F.
Car je sais qu'il faut ensuite utiliser les bases canoniques de [tex]{R}_{1}\left[X\right][/tex] et  [tex]{R}_{2}\left[X\right][/tex]  [tex]\left(1,X,{X}^{2}\right)[/tex] et utiliser le procédé de Gram-Schmidt.

Roro

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Re : Espace euclidien

Bonjour,

D'après ce que tu as écrit dans ton premier message,
[tex]d(P,F)^2 = \inf_{Q\in F} \|P-Q\|^2.[/tex]

En utilisant la norme associée au produit scalaire que tu propose, et en utilisant la base canonique de [tex]F[/tex], tu obtiens
[tex]d(P,F)^2 = \inf_{(a,b)\in R^2} \|P-(aX+b)\|^2 = \inf_{(a,b)\in R^2} \int_0^1 (x^2-ax-b)^2 dx.[/tex]

Pour la suite, tu as raison, il faut trouver une base orthogonale...

Roro.

essai

Invité

Re : Espace euclidien

Bonjour,
Effectivement, passer par le produit scalaire dans  [tex]$R_{2}[X]$[/tex] qui est euclidien est une bonne idée et très récurrente. Et nous voyons bien que ce que nous cherchons est le distance de $X^{2}$ au sous-espace vectoriel [tex]$R_{1}[X]$[/tex].
Mais je pense qu'il faut faire attention parce que le jour du concours, aller chercher trop loin fait perdre du temps et de l'énergie alors que ces questions peuvent aller plus vite. Comme je dis à chaque fois que je poste un truc : dans ces exos, la première solution est celle qui ne fait pas réfléchir trop !! Alors, si on passe par les projections et tout ça il faut :
[tex]
\begin{itemize}
\item - Penser au produit scalaire (pas évident avec la pression)
\item  - Se rappeler qu'il faut une base orthonormale de  $R_{1}[X]$
\item  - La calculer...long
\item  - Se rappeler de la formule par coeur de projection orthogonale (qui minimise la distance), pas évident et ça prend de l'espace dans notre mémoire pour rien
\item  -Recalculer les coefficients...
\end{itemize}
[/tex]

Ouf, pas de tout repos. En regardant le problème on se dit qu'en développant juste on a un polynôme de degré 2 à deux variables a et b. Il suffit alors d'en trouver le point critique qui sera notre minimum (puisqu'on sait qu'il existe et qu'il est unique par projection orthogonale). Ce qui donne :
[tex]
\begin{equation*}
d &= inf\int_{0}^{1}(x^2-ax-b)^{2}dx = inf\int_{0}^{1}(x^4+a^{2}x^{2}+b^{2}-2ax^{3}-2bx^{2}+2abx)dx
\\  &= \frac{1}{5} + \frac{a^{2}}{3} + b^{2}-\frac{a}{2}-\frac{2b}{3}+ab
\\ &= f(a,b)
\end{equation*}
[/tex]

Et là ya plus qu'à dériver f  en a et b et on a le résultat de suite en cherchant les points qui annulent. Il y a sans doute moins de calcul (on ne calcule qu'une seule intégrale et ce sont des polynômes) et aucune réflexion à avoir. Je pense que ce n'est pas négligeable.
A plus

Gustave

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Re : Espace euclidien

Bonjour,
on peut chercher le projeté orthogonal  [tex]ax+b[/tex] de [tex]x^2[/tex] sur [tex]\mathbb R_1[X][/tex]. Pour cela, il faut que le vecteur [tex]x^2-ax-b[/tex] soit orthogonal pour le produit scalaire précédemment défini aux vecteurs de la base canonique de [tex]\mathbb R_1[X][/tex]. Ceci donnera les conditions sur a et b pour les déterminer. Il restera à calculer la distance entre [tex]x^2[/tex] et ce projeté.

D'giu

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Re : Espace euclidien

On m'a dit d'utiliser la base de  [tex]{\mathcal{R}}_{2}\left[X\right][/tex] et d'utiliser Schmidt

J'ai trouvé  [tex]{u}_{1}=\,1\,\,\,{u}_{2}=\,12X\,-6\,\,{u}_{3}=\,\frac{20}{27}-\frac{5}{27}\times \left(12X\,-\,6\right)+\frac{20}{9}{X}^{2}[/tex]

Mais après je ne comprends pas comment continuer.

essai

Invité

Re : Espace euclidien

re-bonjour,

Bon, puisque tu veux utiliser à tout prix les projections orcthogonales (ce qui, voir mon précédent poste, est très long, très lourd et, comme nous le voyons, pas évident à manipuler) je vais essayer d'embrayer sur ce que tu as dit.

Tu as donc une base orthonormale de R1[X]: (u1,u2). Tu cherche la projection de  [tex]u = X^{2}[/tex] sur  [tex]Vect(u_1,u_2)[/tex]. Si tu notes : p(u) cette projection alors :
   
[tex]p(u) = (u,u_1)u_1 + (u,u_2)u_2[/tex]

Il fallait donc d'abord connaître cette formule puis tu calcules deux produit scalaires (chiant...) et enfin tu peux (s'il n'y a pas de faute de calcul encore alors qu'il y a eu 3 calculs pour Grahm-schmidt, et 2 pour la projection,...) calculer ton minimum (encore en calcul!) :

[tex]Min(\dots) = (u-p(u),u-p(u))[/tex]

Normalement ça devrait marcher mais je pense sincèrement que c'est assez dangereux quand il y a plein de calculs...
Bon courage pour la suite !