Forum de mathématiques - Bibm@th.net

...ou de l’économie de l'information."

Bonjour,

Qui ne sait jamais agacé de logorrhées interminables ou de débats infernaux ayants fait mille fois le tour de la question et qui mene bien souvent à d'autres sujets qui n'ont rien à voir?!

Pas moi.

Tentons alors de comprendre le problème des délibérations sempiternelles et d'éviter qu'elles ne deviennent absurdes;

Chacune de ces délibérations naît d'un problème initialement posé auquel on doit une réponse. On peut dire que ce problème se composes de [tex]n[/tex] donnés nécessaires à sa résolution. Notons ce problême [tex]{p}_{n}[/tex] et l'ensemble de ses donnés [tex]\left({i}_{1};{i}_{2}...{i}_{n}\right)[/tex] et les réponses respectivement vraies et fausses [tex]{\mathcal{R}}_{v}[/tex] et [tex]{\mathcal{R}}_{f}[/tex].

Aussi, on considerera que chaque réponse fausse est issue d'une utilisation incomplète de l'ensemble des donnés (l'utilisation d'aucune donné implique ici une réponse fausse) et que la bonne réponse ne peut être issue que de l'utilisation de toute les donnés et que d'une seule façon (il n'existe à chaque fois, qu'une façon d'arriver a un résultat (vrai ou faux), en fonction des donnés précisément choisies. (Pratiquement, on considérera aussi qu'une donné mal utilisée est équivalent à n'avoir pas utilisé cette donné). Cette façon de faire s'exprime par la fonction [tex]f[/tex] qui associe l'exactitude ou non, de la réponse en fonction des donnés.

Ce qu'on note   [tex]f\left(\sum^{}_{1\leq \prod^{}_{}k<n!}{i}_{k}\right)\rightarrow {\mathcal{R}}_{f}[/tex]       et         [tex]f\left(\sum^{n}_{k=1}{i}_{k}\right)\rightarrow {\mathcal{R}}_{v}[/tex]

Bien sûr, [tex]f[/tex] est surjective car il n'existe qu'une façon d'avoir une réponse juste, et donc  [tex]\partial =[/tex][tex]\sum^{n-1}_{p=0}\binom{n}{p}={2}^{n}-1[/tex] façons d'avoir une réponse fausse.

Par ailleurs, En considérant un automates, non guidé par l'intelligence (détail très important pour la suite), et qui choisirait aléatoirement une façon de faire parmi toute celles possibles, alors  [tex]\frac{1}{\partial }[/tex]  d'aboutir à la bonne solution.

On peut alors appliquer ce raisonnement non plus à un individu, mais à un groupe d'individu, chacun proposant une réponse: Si [tex]X[/tex] est la variable aléatoire qui associe le nombre de bonne réponses après  [tex]Q[/tex] réponses, alors [tex]X[/tex] suit une loi binomiale de paramètres  [tex]\left(Q;\frac{1}{{2}^{n}-1}\right)[/tex]  et la probabilité qu'après  [tex]Q[/tex]  réponses, ont est au moins une bonne réponse vaut

[tex]P\left({p}_{n},Q\right)[/tex]  [tex]=1-{\left(1-\frac{1}{{2}^{n}-1}\right)}^{Q}[/tex]

Mais alors fixons un seuil confortable  qui nous permette de déterminer  le nombre de réponses à fournir pour être sûr à 90% d'avoir répondu à la question:

Et alors on considère qu’au bout de  [tex]\mathcal{P} \left(n\right)=[/tex]  [tex]ent\left(\frac{-1}{\log \left(1-\frac{1}{{2}^{n}-1}\right)}\right)[/tex]  réponses, la probabilité d'avoir répondu juste dépasse 0,9.

Il s'agit cependant là d'une majoration excessive mais qui à son intérêt:  Plus haut, on à souligné l'importance du fait qu'il s'agissait d'automates dépourvus d'intelligences;  Dés lors, il n'est pas deraisonnable de penser que si une discussion comporte plus de [tex]\mathcal{P} \left(n\right)[/tex] interventions, ou q'un discours comporte plus de [tex]\mathcal{P} \left(n\right)[/tex] arguments, alors soit c'est que le/les narrateur à déjà répondu au problème, auquel cas la suite du  discourt n'a plus lieux d'être, soit il n'y a pas été encore répondu, et dans ce cas, en restant sérieux, ont peut affirmer d'apres ci dessus, qu'une machine dépourvue d'intelligence en serait au même point, et donc  que le discourt et absurde et/ou beaucoup trop long. (on pourrait par exemple fair taire les deputés de l'assemblé generale du mercredi qui cris dans leurs micros pour ne rien dire, en leur imposant un quota d'arguments à ne pas dépasser, bonne idée non?).

Un exemple concret:

Sans injure, en appliquant cela au forum, et si on prend le problème des vases communicants qui à fait terreur et qui comporte 155 messages http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=4567 ,et qu'on dresse la liste des données nécessaires à la résolution:

[tex]{i}_{1}[/tex]:  "Il y a 3 urnes"

[tex]{i}_{2}[/tex]:  "En n étapes"

[tex]{i}_{3}[/tex]:  "Il y a 3n boules"

[tex]{i}_{4}[/tex]:   "les 2 autres sont vides"

[tex]{i}_{5}[/tex]:   "avoir n boules dans chaque urnes"

[tex]{i}_{6}[/tex]:   "je peux déplacer p boules d'une urne vers une autre"

alors on a 6 donnés (la sélection des donnés est encore à travailler)  et donc [tex]\mathcal{P} \left(6\right)=-\log {\left(\frac{62}{63}\right)}^{-1}[/tex][tex]\sim 144[/tex] [tex]<155[/tex]

En theorie on semble donc avoir depasser d'une dizaine de messages, la limite qui fait que la discussion à encore un sens, et effectivement, vers la fin (dés le 151 eme messages) sous l'influence de monsieur nerosson agacé, la discussion devenait déraisonnable. (Je sais cependant que l'outil n'est pas assez aiguisé pour être utilisés par les modérateurs)

[edit]

Je met maintenant les pieds dans l'inconnu.. MAIS j'obtient deux résultats très intéressants:

Mais notons la probabilité de n'avoir aucune réponse juste après [tex]Q[/tex] réponses [tex]{P}^{-1}\left({p}_{n},Q\right)={\left(1-\frac{1}{\partial  }\right)}^{Q}[/tex] Et alors [tex]{P}^{-1}[/tex] est decroissante, continue donc intégrable et sa limite à l'infini est 0 et son image par 0 est 1.
*Alors définissons  [tex]{I}_{n}=\int^{+\infty }_{0}{P}^{-1}\left({p}_{n},Q\right){d}_{Q}[/tex]  et alors la fonction  [tex]\mathcal{I}\left(Q\right)=\frac{{\left(1-\frac{1}{{2}^{n}-1}\right)}^{Q}}{{I}_{n}}[/tex]  est une densité de probabilité sur [tex]\left[0;+\infty \right][/tex]  et  donc la loi de probabilité sur cet intervalle (qui designe la probabilité de n'avoir aucune reponses juste entre la [tex]{a}^{eme}[/tex] réponse et la [tex]{b}^{eme}[/tex] réponse est  [tex]Prob\left(\left[a;b\right]\right)=\int^{b}_{a}\mathcal{I}\left(Q\right){d}_{Q}[/tex] [tex]=-\ln \left(1-\frac{1}{\partial }\right)\int^{b}_{a}{\left(1-\frac{1}{\partial }\right)}^{Q}{d}_{Q}[/tex]  (si on utilise le résultat :
[tex]\int^{+\infty }_{0}{a}^{x}dx\,=\,-\frac{1}{\ln \left(a\right)}\,\,\,\,\left(0<a<1\right)[/tex]
alors finalement finalement  [tex]Prob\left(\left[a;b\right]\right)={\left(1-\frac{1}{\partial }\right)}^{a}-{\left(1-\frac{1}{\partial }\right)}^{b}[/tex]

C'est le premier résultat intéressant: [tex]Prob\left(\left[a;b\right]\right)=P\left({p}_{n},b\right)-P\left({p}_{n},a\right)[/tex]

*Pour voir le second résultat intéressant, il faut s’intéresser à [tex]{I}_{n}[/tex] (rappelons que [tex]{I}_{n}=\frac{-1}{\ln \left(1-\frac{1}{\partial }\right)}[/tex]  d’après le résultat ci dessus. Et  On remarque que

[tex]{I}_{1}[/tex]=0

[tex]{I}_{2}[/tex]=2,4

[tex]{I}_{3}[/tex]=6,4
.
.
.

[tex]{I}_{6}[/tex]=62.4

Mais qu'indiquent ces nombres?

Et bien on démontre qu'ils indiquent le nombres de réponses suffisantes et nécessaires pour qu'on est une probabilité de  [tex]1-\frac{1}{e}\sim 0,63[/tex]  d'obtenir une réponse juste.

En effet, en se demandent pour quelle valeure de Q, [tex]P\left({p}_{n},Q\right)=1-\frac{1}{e}[/tex]  on  arrive à l’équation [tex]{\left(1-\frac{1}{\partial}\right)}^{Q}=\frac{1}{e}[/tex],  ce qui implique que
[tex]Q=\frac{-1}{\ln \left(1-\frac{1}{\partial }\right)}[/tex][tex]={I}_{n}[/tex] (on notera la partie entière de cette fonction [tex]\psi \left(n\right)[/tex]).

Mais alors comment interpréter ce beau résultat de la nature? Pour rallier à la pratique, je pense (mais c'est à débattre) que l'on peut dire que si au bout de [tex]\psi \left(n\right)[/tex] réponses (ou messages ou arguments etc..) aucune solutions n'a été proposée, on donne un avertissement et alors quand bien même, si on arrive à [tex]\mathcal{P} \left(n\right)[/tex] messages, on stop la discussion.

Vous pourrez maintenant vous rassurer des BLA-BLA interminables en pensant à tout cela.

N'est-il pas?