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Bonjour,

Il n’y a pas besoin que n soit premier pour parler des inversibles.

Bonjour,

Il faut que ce qu'il y a sous la racine soit positif. Mais pourquoi tu donnes le titre "fonctions de plusieurs variables" alors qu'il s'agit d'une fonction d'une variable?

Bonjour,

Les 2 définitions sont correctes, la première est à considérer au sens large de l'inclusion, la deuxième au sens strict. Il y a  aussi la caractérisation suivante : [tex]I[/tex] idéal de [tex]A[/tex] est maximal si et seulement si [tex]A/I[/tex] est un corps.
Du coup, la notion n'a d'intérêt que pour des idéaux propres.

Bonjour,

Un anneau a toujours un élément unitaire. Et pour un idéal [tex]I[/tex] d'un anneau [tex]A[/tex], on a [tex]1_A \in I \iff I=A[/tex]

Oui, c'est justement le cas. On a le résultat suivant :
[tex]\forall f \in \mathcal{H}(A(a,R_1,R_2)), \exists \, f_1 \in \mathcal{H}(D(a,R_2)), \, f_2 \in \mathcal{H}(\{z \in \mathbb{C} / |z-a| > R_1\})[/tex] telles que [tex]f=f_1+f_2[/tex] (conséquence triviale de l'écriture en série de Laurent).
Si de plus [tex]\lim\limits_{|z| \to +\infty}f_2(z)=0[/tex], alors la décomposition est unique (ça se démontre facilement avec le théorème de Liouville).
[tex][/tex]

La différentielle généralise la notion de dérivée dans le cas multivariable. Pour une fonction [tex]f[/tex] d'une variable réelle à valeurs réelles, dérivable, sa différentielle en [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] est donnée par : [tex]d_af(h) = f'(a)h ,\,\forall h \in \mathbb{R}.\,\, (d_af \in \mathcal{L}(\mathbb{R},\mathbb{R}))[/tex]
Toute fonction différentiable admet des dérivées partielles d'ordre 1.
Et pour la réciproque, il y a un théorème qui dit que si une fonction admet des dérivées partielles d'ordre 1 et que celles-ci sont continues, alors la fonction est différentiable (la continuité des dérivées partielles est primordiale ici).

Je détaille ce que j'avais évoqué dans mon message précédent :
Si [tex]f \in \mathcal{H}(A(a,R_1,R_2))[/tex] avec [tex]R_1<R_2[/tex], le développement de Laurent de [tex]f[/tex] s'écrit :
[tex]\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n (z-a)^n = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n (z-a)^n + \sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n} (z-a)^{-n}[/tex]
Le premier terme (partie régulière) est une série entière convergeant uniformément sur tout compact de [tex]D(a,R_2)[/tex]
Pour le deuxième terme (partie principale), en posant [tex]\omega = \frac{1}{z-a}[/tex] tu as une série entière [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}\omega^n[/tex] qui converge uniformément sur tout compact de [tex]D(0,\frac{1}{R_1})[/tex]
L'unicité du DSE te donne l'unicité des parties régulière et principale, donc du développement de Laurent.
Si tu n'es toujours pas convaincu par cet argument, tu as la démonstration de Fred, qui est plus calculatoire, mais plus directe.

C'est l'application directe de la partie du cours sur les séries géométriques, qui sont un cas particulier de séries très important. Pour t'aider, je ne vois malheureusement pas ce qu'on pourrait dire de plus que le cours.

Bonjour,

Dans ton premier raisonnement ("Pour l'intérieur, on remarque que ...") tu montres en fait que c'est [tex]\bar C[/tex] qui est égal à [tex]C \cup \{0\}[/tex], pas [tex]\mathring{C}[/tex].
Pour l'intérieur, tu peux considérer un élément de [tex]\mathring{C}[/tex] et voir ce que cela implique.

Bonjour,

Tu as tout ce qu'il faut pour conclure, sachant que [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] est négligeable devant [tex]\frac{1}{n}[/tex]

Bonjour,

Vu le contexte, il vaut peut-être mieux exprimer le volume en litres, soit 30 litres ici.

Bonjour,

Pour [tex]x \neq 0[/tex], tu peux écrire [tex]\displaystyle x = N_{1}(x).\frac{x}{N_1(x)}[/tex] et voir si le vecteur [tex]\displaystyle \frac{x}{N_1(x)}[/tex] satisfait l'hypothèse d'inclusion sur les boules pour les normes [tex]N_1[/tex] et [tex]N_2[/tex].

(edit : essai code Latex pour plus de lisibilité).