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Vincent62

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Adhérence et inétrieur

Bonjour,

Je souhaite déterminer l'intérieur et l'adhérence de [tex]A=R-\{\frac{1}{n},n\in \mathbb{N}^*\}[/tex], sous-ensemble de [tex]E=R[/tex] muni de la distance usuelle.

Pour cela, j'ai considéré [tex]C=\{\frac{1}{n},n\in \mathbb{N}^*\}[/tex], et j'ai essayé de déterminer son intérieur et son adhérence.

Pour l'intérieur, on remarque que pour tout point [tex]c[/tex] de [tex]C[/tex], on peut trouver un réel [tex]r[/tex] strictement positif tel que [tex]B(c,r)\subset C[/tex]. Par ailleurs, toute boule ouverte centrée en [tex]0[/tex] contient des éléments de [tex]C[/tex]. Ainsi, [tex]\mathring{C}=C\cup\{0\}[/tex].

Pour l'adhérence, je sais que [tex]d\in \overline{C}[/tex] ssi pour tout [tex]r[/tex] strictement positif, [tex]]d-r,d+r[\cap C\neq \emptyset[/tex]. J'ai l'impression que c'est le cas pour tout point de [tex]d[/tex] de [tex]C[/tex].

Or, [tex]C[/tex] n'est pas un fermé car la suite [tex](u_n)[/tex] définie par [tex]u_n=1/n[/tex] pour [tex]n\ge 1[/tex] converge vers [tex]0[/tex] qui n'est pas un élément de [tex]C[/tex].

Voilà, je bloque pour conclure.

Par la suite, puisque [tex]A=C^c[/tex], je comptais déterminer l'intérieur et l'adhérence de A en utilisant les relations sur le complémentaire de l'intérieur et le complémentaire de l'adhérence.

Merci pour votre aide.

Dernière modification par Vincent62 (22-08-2022 14:17:58)

Gui82

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Re : Adhérence et inétrieur

Bonjour,

Dans ton premier raisonnement ("Pour l'intérieur, on remarque que ...") tu montres en fait que c'est [tex]\bar C[/tex] qui est égal à [tex]C \cup \{0\}[/tex], pas [tex]\mathring{C}[/tex].
Pour l'intérieur, tu peux considérer un élément de [tex]\mathring{C}[/tex] et voir ce que cela implique.