Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Je ne sais pas trop ce que le prof attend ici pour le "conjecturer".

On peut considérer l'équation comme du second degré de variable x² (ce qui est une autre manière de poser x² = X et ...)
Un calcul mental élémentaire, donne que le discriminant de cette équation du second degré de variable x² est positif
Il y a donc 2 solutions réelles pour x²

Le produit de ces 2 solutions est -6/2 = -3 donc négatif et leur somme est 1/2 (se voit directement par les coefficients des termes de l'équation)

Donc les solutions (pour x²) sont de signe contraire. (produit négatif)
L'une négative ... et donc quels nombres et types de solutions pour x ?
L'autre positive et donc quels nombres et types de solutions pour x ?

C'est tellement évident de calculer ces solutions qu'en donner seulement une approximation ne rime pas à grand chose.

Mais ce n'est probablement pas le genre de raisonnement attendu pour "conjecturer" ?

Bonjour,

Tu trouveras peut-être ce qui t'intéresse sur ce lien : 

https://www.math93.com/19-histoire-des- … bre-e.html

Bonjour,

L'expression de x².f(x) pour x --> oo ne se prète pas des mieux pour utiliser la règle du Marquis.

Rebonjour,

On peut aussi faire ainsi : (Cela revient au même mais on traîne des complexes en court de calculs)

$\displaystyle e^{2t}. cos(t) = e^{2t} \frac{e^{i.t} + e^{-i.t}}{2}$

$\displaystyle e^{2t}. cos(t) = \frac{e^{(2+i).t} + e^{(2-i).t}}{2}$

On cherche une solution particulière pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x =  \frac{e^{(2+i).t}}{2}$

et une particulière pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x = \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

a) pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x  = \frac{e^{(2+i).t}}{2}$

Une solution particulière est de la forme $x = A . \frac{e^{(2+i).t}}{2}$

x' = ...
x'' = ...

$\displaystyle \frac{e^{(2+i).t}}{2} = ...$
Et en identifiant le second membre avec $\displaystyle \frac{e^{(2+i).t}}{2}$, on trouve $A = -\frac{1}{4.(4+3i)}$

b) a) pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x  = \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

Une solution particulière est de la forme $\displaystyle x = B . \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

... et de manière analogue à ci-dessus, on trouve $\displaystyle B = -\frac{1}{4.(4-3i)}$

Une solution particulière de  $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x = e^{2t}.cos(x)$ est donc :

$\displaystyle y = -\frac{1}{4.(4+3i)} . \frac{e^{(2+i).t}}{2} - \frac{1}{4.(4-3i)} . \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

Et en triturant un peu la ligne ci-dessus, on arrive à :

$\displaystyle y = -\frac{e^{2t}}{100}.[8.\frac{e^{i.t}+e^{-it}}{2} + 6.\frac{e^{i.t} - e^{-it}}{2i}] $

$\displaystyle y = -\frac{e^{2t}}{100}.(8.cos(t) + 6.sin(t))$

$\displaystyle y = e^{2t}.(-0,08.cos(t) - 0,06.sin(t))$

Bonjour,

Tu écris :  ln(1+1/x) est équivalent à (1/x)+(1/(2x^2)) et 1/(1+x) est équivalent à 1/x  en plus l'infini.

Et donc x².f(x) est équivalent en plus l'infini à : x².[1/x - ((1/x)+(1/(2x^2))] = x².(-1/(2x²)) = -1/2

Bonjour,

En poursuivant la méthode préconisée par Michel Coste, on arrive à :

$\displaystyle P(cos(\frac{6\pi}{11}))= cos(\frac{5*6\pi}{11}) + cos(\frac{4*6\pi}{11}) + cos(\frac{3*6\pi}{11}) + cos(\frac{2*6\pi}{11}) + cos(\frac{6\pi}{11}) + 1 $

...

Rebonjour,

Je ne l'ai pas écrit dans mon message précédent, mais avant de poser x = cos(y), j'ai vérifié que les solutions de P(x) = 0 étaient comprises dans ]-1 ; 1[

Par paresse je l'ai fait en mettant la courbe de P(x) sur une calculette graphique ...

Mais on peut le faire aussi par une étude des variations de P(x), c'est un peu long mais sans difficulté majeure.
La seule mini difficulté est de trouver les valeurs de x qui annulent P'(x)  (équation du 4ème degré ... par ex par la méthode de Ferraris)

Bonjour,

Et si tu essayais par exemple avec x = y = p = q = 1

On aurait  : ln(1/p x^p + 1/q y^q) = ln(2) et   1/p ln(x^p) + 1/q ln(y^q) = 0

Donc, au moins pour cet exemple concret, on a ln(1/p x^p + 1/q y^q) >= 1/p ln(x^p) + 1/q ln(y^q)

Cela ne prouve pas que c'est correct quels que soient x,y des réels strictement positifs , p,q éléments de [1,+l'infinie] ... pour cela, il faut travailler un peu plus.

Bonjour,

Chacun son avis ...

Le mien est diamétralement opposé au tien.

Dans mon exemple : le fait que (x^8-16) n'a pas de zéro sur [0;1] n'implique pas que  (2x^5 - 5x^4 + 2x^3 + 8x^2 - 12x + 4) n'a pas de zéro sur [0 ; 1]

Dans cet exemple modifié, le membre de gauche existe sur [0 ; 1] et le membre de droite existe sur [0 ; 1/2[ U ]1/2 ; 1]

Même si la prolongation en 1/2 du membre de droite est possible n'y change rien ... sauf si il est explicitement mentionné que le membre de droite est prolongé en 1/2 par la valeur adéquate.

Dans l'exemple modifié que j'ai donné, l'identité des 2 membres sur [0 ; 1] n'est pas vérifiée en x = 1/2.
Le membre de gauche en x = 1/2 est égal à [(1/2)^5 + (1/2)^4 + 2.(1/2)^3 -4]/[(1/2)^8 - 16] = ...
Le membre de droite n'existe pas x = 1/2

Bonjour,

Peu importe la technique utilisée.
Même le produit en croix est simplissime ... environ une minute.

Mais, quelle que soit la méthode utilisée, il faut penser à montrer que (x^8-16) et (x^4 - 2x³ + 4x - 4) ne s'annulent pas sur [0 ; 1]

Bonjour,

Ce ne sont pas des échantillons.

Pour moi, il s'agit de "comparer " 2 produits, par exemple 2 sortes de biscuits.

Le type "biscuit 1" contient par exemple "70 %" de chocolat, "30%" de vanille, 0 % de pâte de fruit et 0 % de noisette.

Le type "biscuit 2" contient par exemple "40 %" de chocolat, "30%" de vanille, 15 % de pâte de fruit et 15 % de noisette.

Ces 2 sortes de biscuits sont évidemment différentes, et on voudrait "chiffrer" cette différence par un "pourcentage".

Michel Coste a proposé une méthode d'estimation de cette "différence" qui tient la route mathématiquement.

Et moi, je pense que sans informations supplémentaires sur ce que cette "différence" est censée apporter à l'utilisateur, on ne peut pas donner de réponse adéquate.

Enfin, c'est comme cela que j'ai compris le sujet... peut-être erronément.

Bonjour,

"dans cet exemple c'est facile, il y a 30% de différence entre ces deux composés"

Je ne vois d'où tu sors cela.

La question posée ne me semble pas claire du tout.

Que désire t-on montrer par ce "% de différence" ?

On peut décréter tout ce qu'on veut ... mais si cela ne représente pas une caractéristique concrète intéressante dans le domaine du sujet, il n'y a aucun intérêt.

Un exemple concret (de la vraie vie) avec description de ce qu'on voudrait faire apparaître comme caractéristique serait le bienvenu.