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#751 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Ou se cache-t-il ? » 27-09-2011 20:03:34
Salut à tous.
si je prend la fonction inverse dont la courbe est symétrique à la première par rapport à la première bissectrice.
son équation [tex]y = \sqrt{(1 + x^2)}[/tex] pour [tex] y>0[/tex]
soit A son point d'intersection avec l'axe des y. M un point d 'abscisse x sur l'hyperbole et H , sa projection sur x'Ox.
Je vais calculer l'aire du secteur OAMH délimité par les 2 axes , la courbe et MH.
[tex]S = \int_0^x\sqrt{1 + x^2}.dx[/tex] . je pose [tex]x = \sinh{(t)}[/tex] et [tex]dx = \cosh{(t)}.dt[/tex]
l'intégrale devient : [tex]\int_0^t\sqrt{1 + \sinh^2{(t)}}. \cosh{(t)}.dt = \int_0^t\cosh^2{(t)}. dt = \int_0^t\frac{\cosh{(2t)} + 1}{2} . dt[/tex]
Alors [tex] S = \int_0^t\frac{\cosh{(2t)}}{2}.dt + \int_0^t\frac{dt}{2} = \left[\frac{\sinh{(2t)}}{4}\right]_0^t + \left[\frac{t}{2}\right]_0^t = \left[\frac{\sinh{(t)} . \cosh{(t)}}{2}\right]_0^t + \left[\frac{t}{2}\right]_0^t[/tex]
or sur cette courbe symétrique : [tex]x = \sinh{(t)}[/tex] , [tex] y = \cosh{(t)}[/tex] et [tex]t = arg\sinh{(x)}[/tex]
donc [tex]S = \frac{x.y}{2} + \frac{1}{2}.Arg\sinh{(x)}[/tex]
or le premier membre est l'aire du triangle OMH . et pour conclure : l'argument t recherché est le double
de l'aire de la zone comprise entre la courbe , l'axe des y et le segment OM. soit 2 fois le secteur OAM.
#752 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Pizza carrée et trois goinfres » 27-09-2011 17:20:17
Salut à tous.
Nérosson , meme tout feu tout flamme j'aurais droit à la bière quand meme.
#753 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Les mafiosi et la cocaine » 27-09-2011 12:36:48
Bonjour.
le vieux partage 512kg enter les 2 + jeunes .. un tue l'autre et on recommence le meme cinéma.
à la fin le vieux récupère la came.
#754 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Pizza carrée et trois goinfres » 26-09-2011 19:22:47
Bonsoir.
Si je place l'origine O au centre de la pizza. et si c est la longueur du coté de la pizza.
Alors je place ma roulette en O en l'orientant à [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] puis je parcours un lemniscate de Bernouilli d'équation polaire:
[tex]r^2 = \frac{c^2}{4}.\cos(2t)[/tex] dont l'aire d'une boucle est égale à [tex]\frac{c^2}{8}[/tex]
la lemniscate est couchée et tangente aux 2 cotés verticaux de la pizza .
Ainsi lorsque j'ai parcouru la courbe en effectuant un huit couché _ qui aurait peut-etre donné l'idée à
John Wallis pour définir le symbole [tex]\infty[/tex] _ je termine ma première courbe là ou je l'avais commencée
c'est à dire au centre et toujours à 45° , puis je trace la meme lemniscate qui , elle va se trouver verticale.
si bien que je me retrouve avec un superbe treffle à 4 feuilles de meme aire que les quatre coins symétriques
de ma pizza. et là pas de miettes et les 8 olives restent à leur place.
#755 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » test d'entrée à l'école hotelière de Nice » 26-09-2011 18:30:03
Re
si t différent de 0 avec 2 napperons de memes taille , c'est impossible alors .. s'ils sont plus petits
le résultat est le meme.puisque c'est impossible avec des napperons de meme taille que la table.
la démo est au dessus.
#756 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » test d'entrée à l'école hotelière de Nice » 26-09-2011 18:19:19
Bonsoir.
en admettant que les nappes carrées aient le meme coté que le guéridon. et que je ne veuille pas les orienter
dans le meme sens que la table . alors je couvre un coté AB du guéridon et les 2 cotés AD et BC vont etre couverts
comme ceci : l'angle de rotation étant t alors la somme des longueurs couvertes sur AD et BC est:
[tex]L = C .\left[\frac{\cos(t) + \sin(t) - 1}{\sin(t).\cos(t)}\right][/tex]
cette fonction est décroissante sur l'intervalle [tex]] 0 ; \frac{\pi}{4} ][/tex]]. elle varie de [tex]1^-.C \; à\; 0.828.C[/tex].
à plus.
#757 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Pizza carrée et trois goinfres » 25-09-2011 18:20:43
Re.
@Nérosson , j'ai écrit sans cassure mais la courbure est similaire à une ellipse ou un cercle en ce sens que la roulette ne doit pas tourner à l'arret . par contre elle passe 5 fois au meme endroit et elle tangente 4 fois les bords
de la pizza . comme ça tu ne me feras pas bouffer les miettes.
à plus.
#758 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Pizza carrée et trois goinfres » 25-09-2011 13:48:50
Bonjour à tous
@Nerosson , oui mais j'ai précisé que la roulette décrivait une courbe sans cassure genre ellipse ou cercle
ou quelque chose comme ça.
à plus.
#759 Re : Entraide (supérieur) » Méthode d'euler » 25-09-2011 11:25:07
re.
@ Golgup. d'abord je me dis que [tex]1 = -e^{i.\pi} = -\cos\pi - i.\sin\pi[/tex] et je rassemble dans toute la parenthèse d'un coté les réels et de l'autre les imaginaires en appliquant les formules trigo pour convertir les sommes en produit.
[tex]\cos(a) + \cos(b) = 2 . \cos\frac{a+b}{2} . \cos\frac{a-b}{2}[/tex] par exemple.
#760 Re : Entraide (supérieur) » Méthode d'euler » 25-09-2011 09:58:09
Bonjour.
j'ai trouvé un truc comme ça:
[tex](1 + i.e^{i.a})^n = 2^n.\left(\cos(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4})\right)^n .\left[\cos\left(n.(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4})\right) + i.\sin\left(n.(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4})\right)\right][/tex]
j'ai vérifié numériquement avec [tex]a = \frac{\pi}{6}[/tex] et [tex]n = 10[/tex] par exemple.
ça donne [tex]\left(1+i.e^{i.\frac{\pi}{6}}\right)^{10} = -0.5 - 0.866025.i[/tex] pour cet exemple. si je n'ai
pas fait d'erreur.
à plus.
n.b. et ça marche avec a = 20
#761 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Pizza carrée et trois goinfres » 24-09-2011 12:37:59
Bonjour.
Freddy , je me permets de changer la donne. je partage une pizza en 8 parts égales, ( meme aire ) , en posant
la roulette sur un point clé de la pizza carrée , en roulant sans faire de miettes , j'entend par là sans faire de rotation à l'arret , et en finissant la coupe là ou je l'ai commencée . en plus j'ai placé correctement les olives
pour éviter de déraper.
à plus.
#762 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Ou se cache-t-il ? » 23-09-2011 22:53:54
- jpp
- Réponses : 4
Bonsoir.
Si je trace l'hyperbole d'équation [tex]x^2-y^2=1[/tex] , et M un point quelconque sur cette courbe.
Les coordonnées de M sont [tex]x = \cosh(\phi) \;\; et\;\; y = \sinh(\phi)[/tex], d'ou l'appellation cosinus et
sinus hyperboliques . Mais alors , sur la figure , ou est l'argument [tex]\phi[/tex] en question ? ; et surtout,
comment le trouve-t-on ?
à plus.
#763 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre » 23-09-2011 17:39:30
Bonsoir.
Et si AE = BF = b . Que peut-on en conclure ?
à plus.
#764 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre » 19-09-2011 18:05:36
Bonsoir.
Soit un repère xOy orthonormé.
si je trace un rectangle ABCD A(0,0) , B(b+a,0) , C(b+a,a) , D(0,a) , a & b étant 2 réels positifs
avec a>b
je place 2 points E & F judicieusement placés sur les segments AB & BC ....
#765 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » test d'entrée à l'école hotelière de Nice » 18-09-2011 07:06:22
Bonjour.
si les 2 napperons sont identiques et si on les oriente de la meme façon que le guéridon , alors il restera
deux carrés de coté dc , un différentiel de c.
Il faudrait donc les orienter différemment.
Maintenant , si les 2 napperons sont identiques et en plus de memes dimensions que le guéridon , si on les oriente
différemment il faut que le premier puisse couvrir au moins la moitié du carré , c'est à dire qu'il doit couvrir un
rectangle de c x c/2 la position à 45° est la meilleure. mais , hélas ! il ne peut couvrir qu'un rectangle
de [tex] c\times{c.(\sqrt2 - 1)}[/tex]
Or [tex]\sqrt2 - 1 < 0.5[/tex] .
Maintenant , si on considère 2 trapèzes rectangles égaux , la somme de leurs bases sera toujours c
et là , meme problème .
donc , en orientant 2 napperons de memes dimensions que le guéridon et , pour peu qu'on veuille les orienter,
alors , c'est impossible.
Il faudrait au moins 2 napperons de coté [tex]\frac{3.\sqrt2}{4}.c \approx 1.06066.c[/tex]
à plus.
#766 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Voisins / Voisines » 16-09-2011 13:04:10
Salut à tous.
en gardant la meme stratégie . c'est l'histoire du moniteur de colonie de vacances qui part en pique-nique
avec ses momes. c'est le moment du quatre heures.
il a le premier jour 2 momes avec lui. et 2 oranges . ils s'assoient tous les 3 sur un banc , lui au milieu.
il a les oranges dans la main. 0 - 2 - 0 de chaque coté 1 mome
premier transfert 1 - 0 - 1 premier transfert et c'est fini
- le 2ème jour il a 4 momes 0 - 0 - 4 - 0 - 0
premier transfert 0 - 1 - 2 - 1 - 0
second transfert 0 - 2 -0 - 2 - 0
troisième transfert 1 - 0 -1 - 2 - 0
quatrième transfert 1 - 0 - 2 - 0 - 1
cinquieme transfert 1 - 1 - 0 - 1 - 1 et c'est fini
3ème jour il a 6 momes ---> 14 transferts et c'est fini
n ième jour il a 2n momes et 2n oranges ---> 1 + 4 + 9 + 16 + 25 +...+ n2 et c'est fini.
il lui reste donc 2 oranges à 4 + 9 + 16 +.. + n2
#767 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Les dortoirs » 15-09-2011 20:55:23
Re
Mais bon dieu mais c'est bien sure.
les piaules étant toutes mal étiquetées. je choisis par exemple la piaule étiqutée couple et je tape pour tomber
sur un gars et c'est la piaule gars ou sur une fille et c'est la piaule fille
donc en un coup. car les 2 autres piaules sont aussi mal étiquetées.
#768 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Les dortoirs » 15-09-2011 20:20:12
re.
je me suis encore planté.
je tape aux 3 portes et je trouve la piaule ou des filles ou des gars. je trouve les gars d'abord
et après je tape 10fois car dans le cas ou une fille du dortoir couple a ouvert la 1ère fois et si 10 filles ouvrent
à nouveau j'ai trouvé les filles sinon c'est un gars qui ouvre en 10ème et la ce sont les couples.
donc en 13 coups .
#769 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » exercie » 15-09-2011 20:07:54
Salut Samo12.
tu veux dire [tex]\left(\left(\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2} = ...[/tex]
[Edit @Yoshi]
jpp, ne lui donne pas la réponse, s'il te plaît, laisse-le montrer "patte blanche" d'abord, d'autant qu'il a posté la même chose dans la zone Entr'aide...
#770 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Les dortoirs » 15-09-2011 19:34:49
Salut Yoshi.
Merci et j'ai corrigé , mal lu mon texte le "10 couples"qui m'a enduit d'erreurs.
Merci aussi pour ton programme python . je dois dire, moi qui n'ai jamais programmé en basic , ça va etre chaud.
je n'ai pas encore plongé dans le truc mais ça ne saurait tarder . je dois dire que pour moi ce sera le cours
préparatoire et c'est peu dire .
encore merci.
#771 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Les dortoirs » 15-09-2011 18:07:59
Bonsoir à tous.
Moi , je tape aux 3 portes qui seront ouvertes par 2 gars et une fille ou 2 filles et 1 gars.
je trouve le dortoir des filles dans le premier cas ou le le dortoir des gars dans le second cas . je replace la première pancarte " garçon " ou "fille" si ce sont les gars je continue donc;
je tape 20 fois à la meme porte . si la 20ème fois personne n'ouvre j'ai trouvé la piaule des filles.
si on m'ouvre c'est un gars et là je sais que ce sont les couples . donc en 23 coups je remets les pancartes.
à plus.
p.s. j'avais mal lu j'ai corrigé .
#772 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Voisins / Voisines » 14-09-2011 19:03:00
Bonsoir.
si Paul possède ces 20 coquilles et qu'il se situe à 6 h autour de la table. il va distribuer ses coquilles
2 par 2 ( une à gauche et une à droite ) alors 10 partent dans le sens horaire ou rétrograde et 10 dans le sens
trigo ou sens direct.
après c'est comme une vague qui perd de son amplitude au fur et à mesure que les coquilles sont distribuées.
car le voisin de gauche de paul ne pourra pas se débarasser de son dernier coquillage comme son voisin de gauche ;
d'ailleurs , ayant toujours un nombre pair de coquilles il s'en débarassera toujours une à gauche une à droite.
meme sort pour le second voisin de gauche et le second voisin de droite. ainsi de suite..
aussi, comme ils sont 21 ils sont donc 2 à midi . il y a sans doute Virginie qui a effectué l'avant dernier échange
son voisin en avait 3, le veinard , et en derner échange il en a donné une à sa voisine qui en possède 2 et une à son autre voisin qui lui n'avait rien ( le pauvre) il doit y en avoir un autre aussi qui a les mains vides.
en conséquence 18 avec une coquille , un avec 2 coquilles et 2 sans rien. car il y a un nombre pair d'échanges.
quant à 384 échanges je ne vois pas . c'est presqu'un nombre pyramidal moins un.
On se demande quand meme qui porte la culotte.
à plus.
#773 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Pizza carrée et trois goinfres » 14-09-2011 18:34:40
Salut à tous.
@ Nérosson. comme dirait l'autre , sur ce forum, on n'est pas payé cher mais on rigole bien.
ce matin j'avais la meme idée que toi avec les 2 trapèzes rectangles de bases 3 et 1 et
le triangle isocèle de base 4 , le tout dans une pizza de 6 x 6.
p.s. tu me fais souvent rire et c'est une bonne thérapie .
pour en revenir à notre carré , j'ai du mal à trouver 3 polygones concaves superposables .
et la molette elle peut aller en marche avant et marche arrière et ça par contre je n'y avait pas pensé.
à plus.
#774 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre » 12-09-2011 17:32:54
Bonsoir
@ Golgup : ce n'est pas une suite et il n'y a pas d'itération ; par contre , il y a une infinité de solutions
et c'est assez simple d'écriture. tu l'obtiens en 30s sur une calculette de lycée.
le temps de l'écrire .
à plus.
#775 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre » 11-09-2011 14:13:32
- jpp
- Réponses : 10
_utile_aux_sages....
Bonjours à tous.
Je repensais à cette fameuse réponse de Paul Dirac il y aura bientot un siècle; réponse à ce problème:
formuler le maximum de nombres entiers en utilisant 4 fois le chiffre 2.
Ce dernier avait sorti de son chapeau cette réponse:
[tex]n = -\log_2{\left(\log_2\left[\sqrt[2]{\sqrt{...\sqrt{2}}}\right]\right)}[/tex]
avec n égal au nombres d'itérations [tex]\sqrt{..}[/tex]
ce problème avait été reposé par Totomm il y a quelque temps sur ce forum.
hier soir je pensais à un petit problème dans le meme style , mais beaucoup plus facile. Peut-etre qu'un problème dans le genre a déjà été posé.
Voilà: il faudrait pouvoir formuler le transcendant :[tex]\pi[/tex] en utilisant les opérateurs et les fonctions
disponibles sur une calculette scientifique en utilisant uniquement le chiffre 2 puis démontrer de façon
simple qu'il existe une infinité de solutions par exemple en utilisant n fois2 avec
[tex]n = 11 + 3m[/tex] ,avec [tex]m\in{N}[/tex]
il y a bien entendu encore beaucoup d'autres solutions je présume.
Bon courage.
n.b. 222 + 22 + 2 ... cette méthode d'écriture peut etre utiliser.
par contre aucune itération n'est utilisée ; comme une fraction continue par exemple ...