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#1 16-09-2011 11:11:59
- freddy
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test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Hello,
voici le sujet soumis aux candidats à l'école hotelière de Nice de la promotion de 1906 (option MM').
Vous disposez d'un guéridon carré.
Vous disposez de deux napperons carrés dont le coté est d'une longueur stritement inférieure à celle du coté du guéridon.
Pouvez vous recouvrir ce dernier avec les deux napperons ?
On demande une preuve formelle indiscutable, et pas une preuve matérielle immédiate.
(Thank's a lot to Ph. F)
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#4 16-09-2011 14:01:58
- freddy
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Salut à tous,
Définition du dictionnaire internet TV5Monde : Guéridon : petite table ronde.
Ahhhh, merci de l'avoir vu, je t'attendais bien là ...
Bon, je sais bien, mais on s'en fout, je l'ai fait exprès. 'tain, j'en ai nappé, des guéridons, quand j'étais jeune !
Comme dit yoshi, rions !
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#6 17-09-2011 11:52:20
- Golgup
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
salut,
Freddy veut une preuve formelle indiscutable, c'est selon moi très dur sur un tel problème dont le résultat est vraiment très visuel, j'ai quand même essayé de formaliser la vision que j'en avait eu.
On pose [tex]\alpha [/tex] la longueur du coté du guéridon et [tex]\alpha -\epsilon [/tex] la longueur des napperons (epsilon >0)
alors il est déjà évident (pardonnez, communauté) que si [tex]2{\left(\alpha -\epsilon \right)}^{2}<{\alpha }^{2}[/tex] alors c'est impossible de couvrir la totalité du guéridon.
Ensuite, en imaginant le premier napperons déplié évoluant sur la surface du guéridon, le problème revient à montrer que
pour tous epsilon tq [tex]0<\epsilon <\alpha \left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,\,\,\,\,\exists \,\left(x,y,{x}^{'},{y}^{'}\right)\in {\left[\frac{\alpha }{2}-\epsilon ;\frac{\alpha }{2}\right]}^{2}\cup {\left[\epsilon -\frac{\alpha }{2};-\frac{\alpha }{2}\right]}^{2}\,\,\,\,[/tex] tel que
[tex]\alpha >\sqrt{\frac{{\left(x-{x}^{'}\right)}^{2}+{\left(y-{y}^{'}\right)}^{2}}{2}}>\alpha -\epsilon [/tex]
@+
Dernière modification par Golgup (17-09-2011 21:31:59)
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#7 17-09-2011 13:12:13
- nerosson
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Salut à tous,
Il me parait "évident" (pardon, Tibo !) que c'est impossible à moins de couper un des napperons en morceaux.
Je parierais volontiers que quand freddy nous donnera la réponse, il s'agira d'une de ces entourloupes dont il est friand.
Il y a deux expressions qui me laissent perplexe : "strictement inférieure" et "preuve formelle".
Dernière modification par nerosson (17-09-2011 13:20:01)
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#8 18-09-2011 07:06:22
- jpp
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Bonjour.
si les 2 napperons sont identiques et si on les oriente de la meme façon que le guéridon , alors il restera
deux carrés de coté dc , un différentiel de c.
Il faudrait donc les orienter différemment.
Maintenant , si les 2 napperons sont identiques et en plus de memes dimensions que le guéridon , si on les oriente
différemment il faut que le premier puisse couvrir au moins la moitié du carré , c'est à dire qu'il doit couvrir un
rectangle de c x c/2 la position à 45° est la meilleure. mais , hélas ! il ne peut couvrir qu'un rectangle
de [tex] c\times{c.(\sqrt2 - 1)}[/tex]
Or [tex]\sqrt2 - 1 < 0.5[/tex] .
Maintenant , si on considère 2 trapèzes rectangles égaux , la somme de leurs bases sera toujours c
et là , meme problème .
donc , en orientant 2 napperons de memes dimensions que le guéridon et , pour peu qu'on veuille les orienter,
alors , c'est impossible.
Il faudrait au moins 2 napperons de coté [tex]\frac{3.\sqrt2}{4}.c \approx 1.06066.c[/tex]
à plus.
Dernière modification par jpp (18-09-2011 07:15:00)
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#9 24-09-2011 20:57:43
- golguup
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Freddy, je suis pour qu'on félicite celui qui trouve une solution à une énigme! ; )
#11 26-09-2011 18:19:19
- jpp
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Bonsoir.
en admettant que les nappes carrées aient le meme coté que le guéridon. et que je ne veuille pas les orienter
dans le meme sens que la table . alors je couvre un coté AB du guéridon et les 2 cotés AD et BC vont etre couverts
comme ceci : l'angle de rotation étant t alors la somme des longueurs couvertes sur AD et BC est:
[tex]L = C .\left[\frac{\cos(t) + \sin(t) - 1}{\sin(t).\cos(t)}\right][/tex]
cette fonction est décroissante sur l'intervalle [tex]] 0 ; \frac{\pi}{4} ][/tex]]. elle varie de [tex]1^-.C \; à\; 0.828.C[/tex].
à plus.
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#12 26-09-2011 18:22:55
- freddy
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Hello,
(...)
Vous disposez de deux napperons carrés dont le coté est d'une longueur stritement inférieure à celle du coté du guéridon.
Pouvez vous recouvrir ce dernier avec les deux napperons ?
(...)
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#13 26-09-2011 18:30:03
- jpp
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Re
si t différent de 0 avec 2 napperons de memes taille , c'est impossible alors .. s'ils sont plus petits
le résultat est le meme.puisque c'est impossible avec des napperons de meme taille que la table.
la démo est au dessus.
Dernière modification par jpp (26-09-2011 18:31:36)
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#14 29-09-2011 09:39:26
- Fred
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Hello,
J'ai un peu réfléchi, mais je ne m'en sors pas vraiment.
J'avais l'idée de dire que si on place un napperon plus petit, la longueur des partie des côtés de la table qui sont recouverts
est inférieure stricte à la moitié du périmètre de cette table.
Mais je ne sais pas si c'est vrai....
Fred.
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#15 29-09-2011 10:08:56
- freddy
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Salut,
j'ai deux idées, mais je n'ai pas encore eu le temps d'aboutir et dé vérifier leur efficacité.
La première consiste à démontrer que je ne peux couvrir simultanément 9 points caractéristiques de la table, à savoir les 4 coins, les milieux des 4 cotés et le centre de la table.
Le seconde consiste à montrer que la surface utile (c'est à dire surface du napperon privé des tombées à l'extérieur de la table) est toujours inférieure à à la surface de la table.
Sinon, aurais tu encore des jeux logiques ? A propos, ton bar était bien plein hier soir, et d'ailleurs, pas que le bar si j'ai bien vu :-)))
Bb
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#16 29-09-2011 11:24:11
- jpp
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Bonjour.
Ma démo #11 est exactement celle sur laquelle Fred est entrain de plancher.
je démontrerai ce soir ma formule du poste #11 en détail. avec un napperon dont le coté D est < C.
à plus.
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#18 29-09-2011 18:06:02
- jpp
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Re. Soit une table carré ABCD carrée de coté c ( le point B en bas à gauche). soit 2 napperons carrés EFGH de coté [tex]d = c -dc[/tex] dc étant un différentiel de c ( le point F étant aussi en bas à gauche). je peux conclure tout de suite que je peux cacher entièrement le coté AB de la table en inclinant le napperon dans le sens rétrograde d'un angle[tex]t[/tex] tel que [tex]t = \arccos\left(\frac{d}{c}\right)[/tex] C'est donc l'angle minimum pour cacher entièrement AB . J'ai donc un triangle rectangle AFB ou [tex]FB = c.\sin{t}[/tex] . la partie inférieure de la nappe cache BC sur une longueur [tex]L_1 = \frac{d - c.\sin(t)}{\cos(t)}[/tex]. et AD est encore entièrement découvert. maintenant si je continue à tourner la nappe toujours dans le sens rétrograde. en faisant en sorte que le point A soit toujours sur EF et le point B toujours sur FG. Je commence alors à cacher une partie [tex]L_2[/tex] de AD égale à [tex]L_2 = \frac{d - c.\cos(t)}{\sin(t)}[/tex] Alors si je donne à c la valeur 1 et à d la valeur 0.999 , en additionnant [tex]L_1 et L_2[/tex] [tex]L_1 + L_2 = \frac{d.\left[\sin(t) + \cos(t)\right] - c}{\sin(t).\cos(t)}[/tex]. si j'étudie cette fonction sur l'intervalle [tex]\left[\arccos{(\frac{d}{c})}; \frac{\pi}{4}\right][/tex], alors ma fonction est strictement décroissante. et varie de 0.955 à 0.826 donc je couvre avec un seul napperon moins d'une unité c sur les segments AD et BC. plus le segment AB , cela fait moins de 2 unités c avec un napperon.
et par symétrie de centre moins de 4 unités c avec 2 napperons.
à plus.
Dernière modification par jpp (30-09-2011 15:55:19)
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#19 30-09-2011 17:49:37
- jpp
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
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#20 30-09-2011 18:01:05
- nerosson
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Salut à tous,
@JPP,
Bien sûr, la démo est trop calée pour moi, mais le dessin aboutit à ce que j'ai obtenu avec mes petits carrés de papier : le guéridon n'est pas intégralement recouvert. Si tu deviens restaurateur, j'irai pas déjeuner chez toi !
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#22 07-10-2011 10:15:57
- freddy
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Re : test d'entrée à l'école hotelière de Nice
Salut,
d'une façon générale, l'idée de base est de remarquer qu'aucun des deux napperons d'arrivera à couvrir deux coins diamétralement opposés. Donc il faut faire du découpage.
Mais dans la restauration, on ne découpe que la viande, pas les tissus. Et j'irai bien dîner chez JPP, je serai sûr de ne pas rencontrer notre Vénérable cacochyme ;-))
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