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#1 23-09-2011 22:53:54
- jpp
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Ou se cache-t-il ?
Bonsoir.
Si je trace l'hyperbole d'équation [tex]x^2-y^2=1[/tex] , et M un point quelconque sur cette courbe.
Les coordonnées de M sont [tex]x = \cosh(\phi) \;\; et\;\; y = \sinh(\phi)[/tex], d'ou l'appellation cosinus et
sinus hyperboliques . Mais alors , sur la figure , ou est l'argument [tex]\phi[/tex] en question ? ; et surtout,
comment le trouve-t-on ?
à plus.
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#3 27-09-2011 20:03:34
- jpp
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- Messages : 1 170
Re : Ou se cache-t-il ?
Salut à tous.
si je prend la fonction inverse dont la courbe est symétrique à la première par rapport à la première bissectrice.
son équation [tex]y = \sqrt{(1 + x^2)}[/tex] pour [tex] y>0[/tex]
soit A son point d'intersection avec l'axe des y. M un point d 'abscisse x sur l'hyperbole et H , sa projection sur x'Ox.
Je vais calculer l'aire du secteur OAMH délimité par les 2 axes , la courbe et MH.
[tex]S = \int_0^x\sqrt{1 + x^2}.dx[/tex] . je pose [tex]x = \sinh{(t)}[/tex] et [tex]dx = \cosh{(t)}.dt[/tex]
l'intégrale devient : [tex]\int_0^t\sqrt{1 + \sinh^2{(t)}}. \cosh{(t)}.dt = \int_0^t\cosh^2{(t)}. dt = \int_0^t\frac{\cosh{(2t)} + 1}{2} . dt[/tex]
Alors [tex] S = \int_0^t\frac{\cosh{(2t)}}{2}.dt + \int_0^t\frac{dt}{2} = \left[\frac{\sinh{(2t)}}{4}\right]_0^t + \left[\frac{t}{2}\right]_0^t = \left[\frac{\sinh{(t)} . \cosh{(t)}}{2}\right]_0^t + \left[\frac{t}{2}\right]_0^t[/tex]
or sur cette courbe symétrique : [tex]x = \sinh{(t)}[/tex] , [tex] y = \cosh{(t)}[/tex] et [tex]t = arg\sinh{(x)}[/tex]
donc [tex]S = \frac{x.y}{2} + \frac{1}{2}.Arg\sinh{(x)}[/tex]
or le premier membre est l'aire du triangle OMH . et pour conclure : l'argument t recherché est le double
de l'aire de la zone comprise entre la courbe , l'axe des y et le segment OM. soit 2 fois le secteur OAM.
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