Pizza carrée et trois goinfres

freddy · 13-09-2011 22:50:01

Salut,

sauriez vous couper en trois parts égales une pizza carrée sans lever une seule fois la roulette à pizza ?

Dernière modification par freddy (15-09-2011 22:07:47)

nerosson · 14-09-2011 13:57:19

salut à tous

totomm · 14-09-2011 14:26:00

Bonjour à tous,

oui, mais ce serait mieux, si la roulette ne devait pas tourner "abruptement" d'environ 143° en haut.
Donc, est-il possible de partager "sans tournant brusque"......?

Cordialement

nerosson · 14-09-2011 16:48:25

Salut à tous,

@ totomm,

Excuse-moi si je te demande pardon, comme disait je-ne-sais-plus-qui, mais je crois que ton idée ne tient pas. En effet, si on partage cette pizza en trois, pour que les trois morceaux soient séparés, il faut bien que la roulette aille jusqu'au bord de la pizza (trois fois au moins si je ne me trompe). Or, parmi ces trois fois, il y a le point de départ et le point d' arrivée, mais pour le troisième point, la roulette de la pizza fera inévitablement un angle.

j'anticipe : tu vas me répondre en proposant une courbe tangencielle. En théorie, réponse valable (je dis bien en théorie, parce que si tu vas faire une truc comme ça dans le monde, la maîtresse de maison, après avoir ramassé les miettes, dira à son mari "ce type-là, il ne faudra plus l'inviter").

Cela dit, il pourrait être intéressant que tu poursuives ton idée.

J'ajoute que dans la solution que je proposais, la roulette faisait la première coupe en marche avant, puis repartait en marche arrière pour faire la deuxième.

Dernière modification par nerosson (14-09-2011 17:00:54)

jpp · 14-09-2011 18:34:40

Salut à tous.

@ Nérosson. comme dirait l'autre , sur ce forum, on n'est pas payé cher mais on rigole bien.

ce matin j'avais la meme idée que toi avec les 2 trapèzes rectangles de bases 3 et 1 et

le triangle isocèle de base 4 , le tout dans une pizza de 6 x 6.

p.s. tu me fais souvent rire et c'est une bonne thérapie .

pour en revenir à notre carré , j'ai du mal à trouver 3 polygones concaves superposables .

et la molette elle peut aller en marche avant et marche arrière et ça par contre je n'y avait pas pensé.

à plus.

totomm · 14-09-2011 18:39:47

Bonsoir,

@nerosson : Je n'ai pas pensé que la roulette à pizza avait une marche arrière :-)

Si le coté du carré est c, j'imaginais une ellipse de grand axe joignant les milieux de 2 cotés opposés.
Si son demi-grand axe est \(a=\frac{c}{2}\) et son demi-petit axe b, sa surface est \(\pi ab\) avec \(b=\frac{2c}{3\pi}\), mais je n'ai pas pensé aux miettes. :-(

Cordialement

freddy · 15-09-2011 10:57:30

Salut,

on a ici deux exemples de fonctionnement de deux grands esprits. la terrible simplicité de l'un, la terrible complexité de l'autre. C'est comme on le disait ici, au fond notre formation initiale et notre tempérament nous conduisent à approcher différement un même problème et à trouver soit la même solution, quand elle est unique, soit des solutions tout aussi acceptables.

je vous en propose une assez simple, qui est très, très proche de celle de tomtom, en plus simple d'explication.

On considère l'intégrale de [tex]x^2[/tex] sur le segment [tex][0,1][/tex] qui vaut[tex] \frac13[/tex] et on symétrise le graphe par rapport à la première bissectrice (on trace en fait le graphe de la racine carrée de x sur le même segment), et hop, le tour est joué.

j'ai trouvé une autre solution graphique, mais je ne suis pas fort en dessin : je pense qu'en formant une boucle sur le pavé [0,1]², qui démarre en (0,0) et finit en (1,0) devrait partager de manière biscornue la pizza à bobo, mais je n'ai pas le temps de faire les bons calculs.

A plus !

Dernière modification par freddy (15-09-2011 22:12:01)

nerosson · 15-09-2011 13:46:51

Salut à tous,

Moi aussi j'aime bien ce site, entre gens de bonne compagnie (même si je frôle parfois les limites de la bienséance) et son modo qui fait tous ses efforts pour nous faire croire qu'il est ferox. Aussi, quand parfois, il (le site) reste au point mort quelques jours (c'est arrivé il y a peu), je suis désorienté et je me dis :"qu'est-ce qu'il fout, ce sacré freddy ?".

Mais il y a des moments où je me sens petit, petit, petit.

Par exemple, Totomm, j'ai bien compris ton idée d'ellipse, mais quand tu calcules les surfaces des parts, je reste en rade, comme quand Feddy dit : " on symétrise le graphe par rapport à la première bissectrice (on trace en fait le graphe de la racine carrée de X sur le même segment)", je me prends la tête à deux mains et un cachet d' aspirine de l'autre.

Totomm, ton idée de découpe sans angle m' a turlupiné. Ta solution d' ellipse y répond d' ailleurs, mais j' ai également une autre solution à suggérer :

Mais je ne suis pas assez fort pour calculer les positions exactes des points A et B.

La première solution que j'ai proposée est d' ailleurs une variante de celle-ci, le rayon du cercle O étant égal à zéro.

Cordialement

totomm · 15-09-2011 14:50:11

Bonjour,

encore quelques commentaires pour l'amusement....

"L'intégrale de x² sur le segment [o,1] qui vaut 1/3" avec "une symétrie par rapport à la 1ère bissectrice"
donne des miettes en bas à gauche (car la courbe part tangente au coté horizontal et revient tangente au coté vertical), et donne en plus des angles aux extrémités basse et haute

La courbe de nerosson est parfaite. Si on définit la demi-base = rayon du cercle, on peut découper joliment parallèle aux bords verticaux puis demi-cercle !
Et l'aire S se calcule aisément en fonction du rayon du cercle...
(Après cette découpe merveille, plus besoin de rappeler la formule de l'aire de l'ellipse donnée précédemment)

Je ne savais pas que freddy était modérateur (seuls galdinx et yoshi sont cités)
@ freddy : félicitations pour cette promotion
(en passant félicitations à yoshi pour la réelle bienveillance et l'attention qu'il prodigue aux intervenants des Forum d'entraide)

Cordialement

nerosson · 15-09-2011 17:30:36

Salut à tous,

@ totomm,

L'allusion au modérateur concernait yoshi. Freddy se trouve avec moi dans la catégorie "A surveiller tout spécialement".

Ton ellipse me tracasse. Ta formulation est bonne pour les initiés. Moi, je voudrais mettre ça sous une forme qui serait accessible pour la concierge de mon immeuble, si j'habitais dans un immeuble.

J'ai commencé par aller sur le net pour retrouver la formule de la surface de l'ellipse que j'avais oubliée depuis longtemps.

a) Côté de la pizza : 2 C
b) Surface de la pizza : 4 C²
c) Grand axe de l' ellipse : 2 C
d) Petit axe de l'ellipse : 2 B

L'ellipse doit avoir pour surface le tiers de la surface de la pizza.
a) Surface de l'ellipse : 4/3 C²
b) surface de l'ellipse : Pi C B
c) Pi C B = 4/3 C²
d) B = 4/3 C² / Pi C = 4C / 3 Pi
e) B = quatre C divisé par trois Pi

Donc le petit axe de l'ellipse est égal au double du côté de la pizza divisé par trois Pi.

C'est juste ou je me suis encore mélangé les pinceaux ?

freddy · 15-09-2011 22:28:12

nerosson a écrit :

Salut à tous,
J'ai commencé par aller sur le net pour retrouver la formule de la surface de l'ellipse que j'avais oubliée depuis longtemps.
a) Côté de la pizza :[tex] 2 C[/tex]
b) Surface de la pizza : [tex]4 C^2[/tex]
c) Grand axe de l' ellipse : [tex]2 C[/tex]
d) Petit axe de l'ellipse : [tex] 2B[/tex]
L'ellipse doit avoir pour surface le tiers de la surface de la pizza.
a) Surface que doit avoir l'ellipse : [tex]\frac43\times C^2[/tex]
b) surface calculée de l'ellipse : [tex]\pi C B[/tex]
donc [tex]\pi C B = \frac43\times C^2[/tex]
soit [tex]B = \frac{4C}{3\pi}[/tex]
Donc le petit axe de l'ellipse est égal au double du côté de la pizza divisé par trois Pi.
C'est juste ou je me suis encore mélangé les pinceaux ?

Salut,
j'ai recodé, ma vue baisse.

Sinon, ça a l'air OK.

Et ?...

freddy · 15-09-2011 22:30:38

Re,

sinon, j'ai parlé à dessein de la roulette à pizza pour précisément, pourvoir aller en avant et en arrière ...

Bb

freddy · 19-09-2011 09:50:04

Salut,

j'ai quand même du mal à visualiser une ellipse dans mon carré à pizza.

Par contre, je vois très bien mes deux tangentes et mes deux points anguleux.

Si une bonne âme voudrait bien se dévouer ?

totomm · 19-09-2011 13:06:07

Bonjour,

rappel : ellipse de grand axe joignant les milieux de 2 cotés opposés.

évidemment, c'est difficile à visualiser quand on n'a jamais vu découper de cette façon... :-)

freddy · 19-09-2011 13:29:39

Re,

t'as déjà vu un pizzaïolo découper une pizza ???? :-)))

c'est une artiste, le tiens, un Vazarelly de la Marguerita !!!

;-)

jpp · 24-09-2011 12:37:59

Bonjour.

Freddy , je me permets de changer la donne. je partage une pizza en 8 parts égales, ( meme aire ) , en posant
la roulette sur un point clé de la pizza carrée , en roulant sans faire de miettes , j'entend par là sans faire de rotation à l'arret , et en finissant la coupe là ou je l'ai commencée . en plus j'ai placé correctement les olives
pour éviter de déraper.
à plus.

nerosson · 25-09-2011 13:43:21

Salut à tous,

@JPP,

Toutes les fois que le nombre de parts est pair, le problème, tel que l' a posé freddy est simple.

Je donne ci-dessous deux exemples pour 8 parts et 10 parts :

Mais ça ne satisfait pas à la dernière condition que tu as posée : finir au point où on a commencé

Dernière modification par nerosson (25-09-2011 14:57:27)

jpp · 25-09-2011 13:48:50

Bonjour à tous

@Nerosson , oui mais j'ai précisé que la roulette décrivait une courbe sans cassure genre ellipse ou cercle
ou quelque chose comme ça.
à plus.

nerosson · 25-09-2011 18:01:17

Salut à tous,

@JPP

Si tu veux faire huit parts, il me parait indispensable que ton tracé touche huit fois le bord de la pizza (sans miettes : autrement on te les fait bouffer !).

Ne nous fais pas languir, montre-nous ta solution ! ! ! Je suis anxieux de voir cette courbe mystérieuse, sans cassure ni similitude avec un cercle ou une ellipse.

Cordialement.

jpp · 25-09-2011 18:20:43

Re.

@Nérosson , j'ai écrit sans cassure mais la courbure est similaire à une ellipse ou un cercle en ce sens que la roulette ne doit pas tourner à l'arret . par contre elle passe 5 fois au meme endroit et elle tangente 4 fois les bords
de la pizza . comme ça tu ne me feras pas bouffer les miettes.

à plus.

nerosson · 25-09-2011 19:21:39

Salut à tous,

@JPP

Je rallume mon ordinateur pour dire que je suis un âne.

J'ai dit qu'il fallait couper au moins huit fois le bord de la pizza pour faire huit parts. C'est une sottise. J'ai trouvé moyen de faire les huit parts en coupant une seule fois le bord, l'arrivée et le départ se confondant.

Le schéma ci-dessous le montre, mais sans tenir compte des autres données du problème, mais il n'est pas impossible qu'un matheux futé trouve une solution complète du problème sur ces bases.

Dernière modification par nerosson (25-09-2011 19:25:01)

jpp · 26-09-2011 19:22:47

Bonsoir.

Si je place l'origine O au centre de la pizza. et si c est la longueur du coté de la pizza.

Alors je place ma roulette en O en l'orientant à [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] puis je parcours un lemniscate de Bernouilli d'équation polaire:

[tex]r^2 = \frac{c^2}{4}.\cos(2t)[/tex] dont l'aire d'une boucle est égale à [tex]\frac{c^2}{8}[/tex]

la lemniscate est couchée et tangente aux 2 cotés verticaux de la pizza .
Ainsi lorsque j'ai parcouru la courbe en effectuant un huit couché _ qui aurait peut-etre donné l'idée à
John Wallis pour définir le symbole [tex]\infty[/tex] _ je termine ma première courbe là ou je l'avais commencée
c'est à dire au centre et toujours à 45° , puis je trace la meme lemniscate qui , elle va se trouver verticale.

si bien que je me retrouve avec un superbe treffle à 4 feuilles de meme aire que les quatre coins symétriques
de ma pizza. et là pas de miettes et les 8 olives restent à leur place.

Pouni · 27-09-2011 14:14:56

Bonjour !

Si vous avez déjà découpé des gâteaux, vous savez donc que s'approcher tangentiellement du bord est ce qu'il y a de plus productifs en miettes, juste après le broyage et lancer. Autant tirer dessus à balles réelles !

MAIS si l'on n'arrive pas tangentiellement cependant, il faut bien SORTIR du cake/gâteau/pizza pour continuer la découpe, comme avec les deux morceaux de paraboles ou les 2 lignes droites, auquel cas, pour des huitièmes égaux, autant faire une découpe verticale plein centre, puis trois horizontales à 1/4 1/2 & 3/4, et là même un couteau suffira !

nerosson · 27-09-2011 15:15:21

Salut à tous,

JPP a écrit :

la lemniscate est couchée et tangente aux 2 cotés verticaux de la pizza

.

Ton trèfle à quatre feuilles est tangent en quatre endroits aux quatre bords de la pizza, et tu prétends qu'il n'y aura pas de miettes ! !

Tu les boufferas et je t'offrirai une bière pour les faire descendre. A moins que tu meures étouffé par les miettes, auquel cas je payerai également la "bière" !

Dernière modification par nerosson (27-09-2011 15:18:16)

jpp · 27-09-2011 17:20:17

Salut à tous.

Nérosson , meme tout feu tout flamme j'aurais droit à la bière quand meme.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 13-09-2011 22:50:01

Pizza carrée et trois goinfres

#2 14-09-2011 13:57:19

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#3 14-09-2011 14:26:00

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#4 14-09-2011 16:48:25

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#5 14-09-2011 18:34:40

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#6 14-09-2011 18:39:47

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#8 15-09-2011 13:46:51

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#10 15-09-2011 17:30:36

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