Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,

La fonction $\Pi$ est une "droite" :
$$\Pi(Q) = (p - \alpha) Q.$$
Donc :

1) Si $p = \alpha$, $\Pi$ est identiquement nulle, et n'importe quelle quantité $Q$ maximise le profit.
2) Si $p < \alpha$, la quantité qui maximise le profit est $Q = 0$, puisque $Q \geq 0$.
3) Si $p > \alpha$, $\Pi$ est une fonction strictement croissante de $Q$. Il n'y a donc pas de maximum, sauf si on autorise $Q = + \infty$. En principe, il y a une contrainte $Q \leq$ un certain volume. Ce volume est donc la solution.

E.

Bonjours à tous,

Je suppose qu'il est question d'espaces vectoriels réels (ou complexes). On peut procéder de la façon suivante. Désignons par $\mathrm{N}_u$ la norme $(x_i) \longmapsto \sum_{i = 1}^n | x_i |$ sur $\mathbf{R}^n$, et $d$ la distance correspondante.

1. Démontrer que $(\mathbf{R}^n, d)$ est un espace métrique complet. (Remarquer que les projections canoniques $\mathrm{pr}_j$ sont uniformément continues.)

2. Soient $(\mathrm{X}_1, d_1)$ et $(\mathrm{X}_2, d_2)$ deux espaces métriques, et soit $f$ une bijection uniformément continue de $(\mathrm{X}_1, d_1)$ sur $(\mathrm{X}_2, d_2)$, dont la réciproque est uniformément continue. Démontrer que $(\mathrm{X}_1, d_1)$ est complet si, et seulement si, $(\mathrm{X}_2, d_2)$ est complet.

3. Soit $\mathrm N_1$ et $\mathrm N_2$ deux normes équivalents sur $\mathrm E$. Démontrer que $(\mathrm{E}, \rm N_1)$ est un espace normé complet si, et seulement si, $(\mathrm{E}, \rm N_2)$ est un espace normé complet.

4. Soit $\rm E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 0$, et soit $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base du dual de $\rm E$. Démontrer que l'application $x\longmapsto \sum_{i = 1}^n | f_i(x) |$ est une norme $\rm N$ sur $\rm E$, et que $(\rm E, \rm N)$ est un espace normé complet. (Remarquer que l'application $ x \longmapsto (f_1(x), \ldots, f_n(x))$ est une isométrie de $(\mathrm{E}, \mathrm{N})$ sur $(\mathbf{R}^n, \mathrm N_u)$.

5. Conclure.

BigDeal, il y a un (gros) problème dans ta preuve, au niveau du 3e paragraphe. Reprend la définition d'une suite convergence pour la trouver.

E.

Bonjour,

Tout ensemble appartenant à $\rm A$ est un ouvert $\scr T'$. Donc, toute intersection finie d'ensembles de $\rm A$ est une intersection finie d'ouverts de $\scr T'$, donc un ouvert de $\scr T'$ ; donc, $\rm B$ est formé d'ouverts de $\scr T'$.

E.

Ben... qu'on remplace la notion de suites (au sens usuelle) par celle de suites généralisées

Bonjour à tous,

Je vais retraduire en Latex pour que ce soit plus lisible.

On note $\phi$ l'application (linéaire) :

\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{rcl}
\mathbf{R}_3[X] & \longrightarrow & \mathbf{R}_4 \\
P & \longmapsto & (P(-1), P(0), P(1), P'(0))
\end{array} \right .
\end{equation}

Soit $ f \in \mathscr{C}^4([-1, 1])$. On pose $\textrm{M}_4 = \sup_{-1 \leq t \leq 1} \left | f^{(4)} (t) \right |$. J'imagine que le $t$ dont il est question vérifie $\left | f^{(4)} (t) \right | = \textrm{M}_4$.

Soient $H$ le polynôme $X^2(X^2+1)$ et $Q$ un polynôme de $\mathbf{R}_3[X]$. Soit $h$ l'application $x \mapsto f(x) - Q(x) - k . H(x)$ de $[-1, 1]$ dans $\mathbf{R}$.

On doit montrer qu'il existe un $c \in [-1, 1]$ tels que $h^{(4)}(c) = 0$.

C'est bien ça ?

Bonjour à tous,

Quand je parle d'"epsilon", je fais référence à la façon dans le supérieure (prépa ou licence) de présenter la limite d'une suite de nombre réels (ou de complexes). Intuitivement, une suite $(u_n)$ converge vers un réel $x_0$ si l'on peut rendre les termes $u_n$ aussi voisins qu'on veut de $x_0$ dès que $n$ est suffisamment grand. La notion de "voisin" s'exprime avec des "petites" distances, et les "petits" réels sont souvent notés $\varepsilon$ quand ils apparaissent. C'est pour ça que j'ai parlé d'epsilon. Rien à voir avec les notations de Landau.

Sinon, pour reprendre le problème d'origine, le fait de savoir que la suite indexée par les entiers paires, et celle indexée par les entiers impaires, ont la même limite suffit pour conclure qu'il s'agit de la limite de la suite.

Mais pour le démontrer "proprement", il faudrait déjà savoir comment démontrer "proprement" qu'une suite converge vers un réel. Et là... Ça doit dépendre de ton niveau. La monotonie de la suite le permet. Mais il s'agit d'un cas particulier et si, effectivement, la suite n'est pas monotone, ce résultat ne sert à rien.

S'il s'agit de la seule technique dont tu disposes, alors je sèche...

$[x, y]$ est l'ensemble des réels $z$ tels que $x \leq z$ et $z \leq y$. Si $y \leq x$, la relation $z \in [x, y]$ entraîne donc $x \leq z$ et $z \leq x$, donc $x = z$. D'où $[x, y] = \{ x \}$.

Bonjour à tous,

Curieuse interprétation de notre modo Yoshi, ici. Est-ce plus clair $L \times g \times \cos(\phi)$ ?

E.

Bonjour,

Pour toute partie $\rm A$, tu as $\rm A = \complement ( \complement \rm A)$. Donc si $\complement \rm A$ est ouvert, $\rm A$ est fermé.

E.

Bonjour à tous et à toutes,

Comment Borassus en son temps, j'ai commencé les maths tout seul (en parallèle d'une licence de droit qui ne se passait plus très bien), abat de rejoindre le cursus classique. J'ai donc commencé en me faisant mes propres cours, et je pense que ma façon de procéder à l'époque (très heuristique) rejoint celle de Borassus. Je vous transmet donc la partie consacrée aux intégrales multiples, qui sans doute intéressera Bora (au moins pour les coordonnés sphériques) !

https://www.cjoint.com/c/NCFsbygFefQ

E.

Bonjour,

C'est une question assez difficile à répondre que tu poses. Dans un premier temps, je dirais que le plus simple pour toi est de reprendre le contenu du programme de Lycée et, pour cela, ce n'est pas les ressources qui manques, surtout depuis le confinement. Mais, une fois que le programme de terminal est maîtrisé - et c'est peut déjà le cas pour toi -, je ne vois pas comment procéder... Si l'idée est de suivre en dilettante le programme de prépa/licence, quelques heures par semaine, cela me paraît assez peu réalisable si, en plus, tu suis un autre cursus. Grosso modo, il va te falloir déjà un certain temps pour appréhender une notion et rentrer dans le coeur du cours. Si, au bout de 2/3 h, tu t'arrêtes pour faire autre chose et que tu reprends ce que tu as commencé la semaine d'après, tu vas devoir encore recommencer le même processus de réflexion, et finalement tu vas boucler sur les premières notions sans aller bien loin.

Un conseil donc : va voir les livres de maths de ta BU et demande-toi si c'est vraiment réalisable.

Après, je me suis toujours dit que si j'avais le temps, j'étudierais la géométrie d'Euclide (dans ses Éléments) par curiosité du raisonnement. L'approche suivie est une illustration de la méthode axiomatique, et comme les objets manipulés sont très peu "abstraits" (ce sont des droites, des triangles, bref des figures géométriques), tu auras sans doute pas ce temps de "conceptualisation" nécessaire pour rentrer dans une branche plus moderne des mathématiques.

E.

Bonjour,

La question de la mesurabilité n'a rien à voir ici. Il est habituel de "prolonger" l'addition de deux réels à $[- \infty, + \infty]$ en adoptant les conventions suivantes :

\begin{align}
(+ \infty) + (+ \infty) & = (+ \infty) \\
(+ \infty) + x = x + (+ \infty) & = (+ \infty) \\
x + (- \infty) = (- \infty) + x & = (- \infty) \\
(- \infty) + (- \infty) & = (- \infty)
\end{align}

pour tout nombre réel $- \infty < x < + \infty$, avec $- (+ \infty) = (- \infty)$. Avec ces conventions, la somme de deux fonctions à valeurs dans $[- \infty, + \infty]$ est définie si pour tout $x \in X$, la somme des éléments $f(x)$ et $g(x)$ est définie dans $[- \infty, + \infty]$.

E.