Forum de mathématiques - Bibm@th.net

frizante88

Membre

Inscription : 29-04-2024

Messages : 4

petits problèmes avec les th de Rolle

Bonjour,

j'ai un petit problème sur mon dm de vacance...
En gros la question est la suivante : Si t appartient à ]-1,1[ avec t diiférent de 0, on définit f* appartenant à R3[X], H=X²(X²+1), h(x)=f(x)-f*(x)-KH(x) ou K un constante tq h(t)=0.
Montrer qu'il existe c appartenant [-1;1] tq la dérivé 4 ème de h de c est égale à 0.

Et bien en premier lieu j'avais pensée a Rolle mais je devrais dire qu'il existe une infinité de c dans le premier, cela me paraît bizarre.
Sinon j'avais pensé à dériver 4 fois seulement j'arrive à f(4)(c)=f*(4)(c) et ensuite en développant les polynômes : 0=24a => a=0 donc il existe une infinité de c ?
Donc je ne sais pas si je suis fatigué mais la réponse me paraît assez idiote. Voilà simplement si quelqu'un pourrait m'éclairer.

Respectueusement, écrit avec tendresse et maladresse.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : petits problèmes avec les th de Rolle

Bonjour,

  Je pense que ce serait plus facile de t'aider si tu donnais un énoncé précis et non un énoncé "en gros".
Quelles sont les propriétés vérifiées par $f$? Comment est défini $f*$?

F.

frizante88

Membre

Inscription : 29-04-2024

Messages : 4

Re : petits problèmes avec les th de Rolle

Merci pour ta réponse.
Je vais préciser tout ça : f ∈ C^4([-1,1]), f*∈ R3[X], on a φ une application de R3[X]->R^4, qui associe le polynôme P->(P(-1),P(0),P(1),P'(0)), φ(f*)=(f(-1),f(0),f(1),f'(0)). De plus on a M4=max(|f''''(t)|) (dont on a justifié l'existence dans la question précédente) et H=X²(X²-1) et  h(x)=f(x)-f*(x)-K*H(x) ou K un constante tq h(t)=0.
L'objectif est donc de montrer qu'il existe ct tq h''''(ct)=0.

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 184

Re : petits problèmes avec les th de Rolle

Bonjour à tous,

Je vais retraduire en Latex pour que ce soit plus lisible.

On note $\phi$ l'application (linéaire) :

\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{rcl}
\mathbf{R}_3[X] & \longrightarrow & \mathbf{R}_4 \\
P & \longmapsto & (P(-1), P(0), P(1), P'(0))
\end{array} \right .
\end{equation}

Soit $ f \in \mathscr{C}^4([-1, 1])$. On pose $\textrm{M}_4 = \sup_{-1 \leq t \leq 1} \left | f^{(4)} (t) \right |$. J'imagine que le $t$ dont il est question vérifie $\left | f^{(4)} (t) \right | = \textrm{M}_4$.

Soient $H$ le polynôme $X^2(X^2+1)$ et $Q$ un polynôme de $\mathbf{R}_3[X]$. Soit $h$ l'application $x \mapsto f(x) - Q(x) - k . H(x)$ de $[-1, 1]$ dans $\mathbf{R}$.

On doit montrer qu'il existe un $c \in [-1, 1]$ tels que $h^{(4)}(c) = 0$.

C'est bien ça ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : petits problèmes avec les th de Rolle

Re-

  Si j'ai bien compris, $Q$ n'est pas n'importe quel polynôme, il vérifie $\phi(Q)=(f(-1),f(0),f(1),f'(0))$,
et $k$ est choisi telle que $h(t)=0$.
Et je pense que $t\in ]-1,1[\backslash\{0\}$ et qu'il n'a pas grand chose à voir avec $M_4$.
Je crois aussi que $H(X)=X^2(X^2-1)$ (mais ça a changé suivant les messages!)

Je n'ai pas envie de tout faire, mais ça sent effectivement le théorème de Rolle à plein nez.
On a ainsi $h(-1)=h(0)=h(1)=h(t)=0$. Avec le theorème de Rolle, on trouve trois réels
distincts de $]-1,1[$, et distincts de $0$, tels que $h'(a_1)=h'(a_2)=h'(a_3)=0.$
On peut aussi vérifier que $h'(0)=0$.
On applique alors le théorème de Rolle à $h'$ pour trouver 3 zéros de $h'',$
puis le théorème de Rolle à $h''$, etc...

F.

frizante88

Membre

Inscription : 29-04-2024

Messages : 4

Re : petits problèmes avec les th de Rolle

Oui c'est effectivement cela merci beaucoup Eust_4che je ne connaissais pas Latex. Et oui Fred merci beaucoup pour ton aide je me demandais si il n'y avait pas un autre moyen mais apparemment non c'est bête et méchant. Merci pour votre aide.
Respectueusement
Frizante88