Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Je complète la réponse de Zebulor en apportant mon idée : avant de passer en polaire ou sphérique, j'aurai simplement écrit que le volume correspond à celui du domaine $\Omega$ défini par
$$\Omega = \Big\{ (x,y,z)\in \mathbb R^3 \, ; \, (x,y)\in B_2(0,\frac{1}{\sqrt 3}) \quad \text{et} \quad \sqrt{5(x^2+y^2)} < z <\sqrt{2-(x^2+y^2)} \Big\}.$$

Une fois que le domaine est décrit de façon "simple" (à vérifier !), le calcul du volume n'est pas très difficile : il s'obtient par exemple par
$$V = \int_\Omega 1\, dxdydz = \int_{B_2(0,\frac{1}{\sqrt 3})} \Big( \int_{\sqrt{5(x^2+y^2)}}^{\sqrt{2-(x^2+y^2)}} 1 \, dz \Big) \, dxdy.$$

L'intégration en la variable $z$ est évidente. Ensuite, un changement en coordonnées polaire semble indiqué... et il faut sans doute travailler un peu pour évaluer les intégrales restantes, mais c'est un autre problème !

Roro.

Bonsoir,

Si on remplace le mot "sablier" par "clepsydre", ça collera mieux avec la physique... (en négligeant les effets de tension de surface sur les bords, et les effets de la marée !).

En voyant les dessins de Bernard, je ne m'étais même pas posé la question. Ceci étant dit, la solution ne sera pas trop difficile à trouver, dès lors qu'on se donne l'angle de repos du sable.

Roro.

Bonjour,

Ton message est assez incompréhensible. On ne sait pas ce qu'est ce "$a$", et quel est le lien avec une parabole.
D'autre part, je n'ai jamais entendu parlé de "large" ou "raide" pour des branches de parabole.
Si j'interprète quand même ton message (je ne suis pas devin mais j'essaye) :
La courbe représentative d'une fonction de la forme $x\longmapsto ax^2+bx+c$ est une parabole. Plus le coefficient $a$ est grand (en valeur absolue) plus la courbe semble "raide" visuellement... le plus simple est de tracer de telles courbes pour s'en convaincre.

Roro.

Bonsoir,

Si tu es dans le cas où $a=-\infty$, ou dans un cas où $f$ n'est pas définie en $a$, comment peux-tu parler du produit $f(a)f(b)$ ?

Si par exemple $f$ n'est pas définie en $a$ mais que $\Big(\lim_{x\to a} f(x)\Big) f(b) <0$ alors, par continuité, il doit exister $a'>a$ tel que $f(a')f(b)<0$ et dans ce cas, tu appliques le résultat sur $[a',b]$.

Roro.

Bonsoir,

Je dirai qu'il faut la dériver sur chaque morceau !

Et selon ce que tu veux faire, il faut peut être regarder ce qu'il se passe entre les morceaux (ou au moins aux extrémités des morceaux). Sans plus d'info, on en peut pas vraiment en dire plus sur ce que tu veux faire...

Roro.

Bonjour,

Non, en tout cas pas sans autre hypothèse sur la fonction $f$...

Si tu sais que $f$ est continue, ça doit être vrai...

Roro.

Bonjour,

En effet, la phrase "l'exponentielle est une fonction majorante" n'a pas de sens si on ne dit pas de quoi elle est majorante.

De manière générale, on dit qu'une fonction $f$ majore une fonction $g$ sur un ensemble $I$ si $f$ et $g$ sont définies sur $I$ et, pour tout $x\in I$ on a $f(x) \geq g(x)$.

Roro.

Bonjour,

Je te retourne la question : que signifie pour toi qu'une forme différentielle est intégrable ?

Je pense qu'il va falloir être beaucoup plus précis pour continuer à parler de ces choses là. C'est assez subtil et si on manque de rigueur il est possible de raconter pas mal d'âneries (moi compris) !

Par exemple, pour intégrer une forme différentielle $\omega$, tu dois sans doute parler d'une $n$-forme, sur une variété $\mathcal S$ de dimension $n$ ?

La définition de $\int_{\mathcal S} \omega$ n'est pas triviale mais dans le cas d'une $1$-forme exacte intégrer sur une courbe, la formule est donnée dans le lien de mon précédent message.

Roro.

Bonjour,

L'idée du forum est d'aider les personnes qui ont des questions mathématiques. Dans le cas présent, j'aurai plutôt envie de dire : qu'as-tu fait pour chacun de ces exercices ? On pourra ensuite t'indiquer si c'est correct et ce qu'on en pense.

Par contre, l'esprit de vouloir comparer une correction avec une autre est un peu limite. La notation d'un correcteur n'est pas si "mathématiques" que cela peut paraitre. Je ne connais pas le contexte et selon ce qui a été vu en cours (ou en exercice), un correcteur peut attendre une réponse plus ou moins précise, plus ou moins détaillée, etc.

Roro.

Bonsoir,

Je me permets une petite incursion dans vos pérégrinations en apportant mon point de vue sur les questions soulevées par amimarc :

Je ne pense pas que "mathématiques modernes" et "mathématiques officielles" aient un véritable lien. Ce que je comprends par "officiel" est plutôt un lien vers l'enseignement et les programmes "officiels" en collège et lycée. Ces mathématiques faites au collège ou lycée sont justement de plus en plus éloignées des mathématiques aussi bien anciennes que modernes. L'exemple le plus frappant est le manque d'enseignement du raisonnement et de la logique dans ces programmes, alors que c'est la base des mathématiques anciennes ou modernes.

J'aurais tendance à dire le contraire : les maths modernes partent de plus en plus d'exemples concrets car la société est de plus en plus demandeuse de résultats concrets. Le monde dans lequel nous vivons laisse très peu de place aux mathématiques qui ne sont pas ancrées dans la vie active. L'orientation de la recherche quasiment uniquement sur projets (à relativement court terme) est l'exemple le plus frappant !

Les maths modernes n'ont pas été imposées ! Pour moi, les maths modernes sont les maths qu'on fait actuellement, et cette phrase est intemporelle. Il y a toujours eu des maths modernes relativement à ce qui se faisait 100 ans plus tôt. Cela rejoint la question précédente : les maths "modernes" sont le résultat de la demande sociétale et ça toujours été ainsi. Je ne sais pas ce qui se cache sous le terme maths "anciennes" mais si je prend l'exemple des coniques qui étaient étudiées fréquemment il y a quelques décennies par la plupart des étudiants, pourquoi ne le sont-elles plus ? Sans doute parce que les questions qui sont posées par la société actuelle n'ont pas besoin de ces travaux... et que les théories mathématiques ont permis d'englober ces études dans des cadres plus généraux...

Roro.

Bonsoir,

La justification que tu proposes n'est pas correcte. Il n'existe pas de résultat qui dit que la composée d'une fonction dérivable et d'une fonction non dérivable est non dérivable. C'est même un résultat qui peut être mis en défaut. Pense à l'exemple suivant : $f(x)=|x|^2$. La fonction $x\mapsto |x|$ n'est pas dérivable en $0$, et pourtant lorsqu'on met au carré, ça devient dérivable...

Dans ton exemple, le plus simple est peut être de revenir à la définition de la dérivée. Le taux d'accroissement $\frac{\sin(\sqrt h) - \sin(\sqrt 0)}{h-0}$ a-t-il une limite lorsque $h$ tend vers $0$ ?

Roro.

Bonsoir,

A mon avis, tu dois dire si l'une est négligeable devant l'autre ($f=o(g)$ ou $g=o(f)$) ou si elles sont équivalentes ($f\sim g$), ou si rien de tout ça !

Roro.