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jacky

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Je suis bloqué - Solutions d'unicité Problème de Cauchy de ED à variab

Salut,

J'ai besoin d'aide pour comprendre deux propositions qui se trouvent dans mon cours d'analyse, dans le chapitre des DE, et traitant des DE à variables séparables. Et d'après ce que je comprends, ils sont censés garantir l'unicité de la solution pour un problème de Cauchy de DE avec des variables séparables (je crois).

Je le précise ici :

Considérons le problème de Cauchy suivant :

y′=f(x)g(y)∧y(x0)=y0
où x0∈f,y0∈domg

Alors :
1) Si

g(y0)≠0

, alors il existe un voisinage de (x0,y0) tel que ce problème de Cauchy admette une et une seule solution dont le graphe est inclus dans ce voisinage https://bazoocam.online/ learn more
2) Si J est un intervalle inclus dans domg et g ne s'annule pas dans J, alors ce problème de Cauchy admet une et une seule solution maximale ϕ (dont le graphe ne peut être étendu sans sortir de

domf×J

Alors, il faut savoir que dans mon cours ces deux propositions ne sont pas démontrées, si quelqu'un sait, si la démonstration est à la portée d'un élève de L1, où peut-on trouver une démonstration des deux propositions. bazoocams

Ce que j'aimerais d'abord comprendre (on verra plus tard pour la suite), c'est comment l'annulation de g

contredit ces deux propositions ?

Dernière modification par jacky (17-12-2022 06:21:18)

Roro

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Re : Je suis bloqué - Solutions d'unicité Problème de Cauchy de ED à variab

Bonjour,

Sans utiliser d'outils complexes, j'aurai envie de procéder par analyse-synthèse pour démontrer que ton équation différentielle (ce que tu dois appeler "DE" ???) a une unique solution.

Si tu supposes qu'il existe une solution $y$ telle que $g\circ y$ ne s'annule pas sur un voisinage de $x_0$ alors, sur ce voisinage tu auras
$$\frac{y'(x)}{g(y(x))} = f(x).$$
En notant $H$ une primitive de la fonction $1/g$, et $F$ une primitive de la fonction $f$ (il faut par exemple supposer que $f$ et $g$ sont continues), tu auras
$$\Big( H(y(x)) \Big)' = \Big( F(x) \Big)'.$$
et en intégrant entre $x$ et $x_0$ :
$$H(y(x)) = F(x) + H(y(x_0)) - F(x_0).$$
En remarquant que $H$ est localement bijective (puisqu'on est sur un voisinage ou sa dérivée ne s'annule pas... cf. hypothèse du début), on peut "inverser" la relation précédente pour écrire
$$y(x) = H^{-1}\Big( F(x) + H(y_0) - F(x_0) \Big).$$

Cette première étape te permet de dire que s'il y a une solution, elle aura forcément la forme ci-dessus. Il faudrait ensuite vérifier que cette solution est effectivement une solution, mais tout a été fait pour !

Concernant l'hypothèse d'annulation de $g$, tu te rends compte que ce que j'ai écrit ci-dessus impose clairement que $g(y_0)\neq 0$, sinon, je ne pourrais pas diviser par $g(y(x))$ dès la première étape. En fait, lorsque $g(y_0)=0$, il y a une solution évident à ton problème : la fonction constante $y(x)=y_0$...

Le vrai souci dans ce dernier cas, est qu'il peut exister d'autre solution que cette solution évidente... (par exemple lorsque $g(y)=\sqrt y$, mais c'est sans doute une autre histoire).

Si tu veux en savoir plus sur ces théories, le plus simple est d'aller voir le Théorème de Cauchy-Lipschitz (par exemple ici) dont tu trouveras plein de démonstration sur le web (mais probablement pas niveau L1).

Roro.

Dernière modification par Roro (09-07-2022 12:24:25)

Hakim_Said

Banni(e)

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Re : Je suis bloqué - Solutions d'unicité Problème de Cauchy de ED à variab

Je crois qu'il faut revoir les formules de bases.