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#26 Re : Entraide (supérieur) » Matrice d'une rotation » 29-03-2023 14:53:55
Merci de ta réponse Michel,
- Pour les polynômes symétriques, ça ne me parlait pas, j'ai fait un coup de wikipédia, et j'avais effectivement pas étudié ces polynômes là en école d'Ingé.
- Pour le polynôme -pas- caractéristique, je pense que j'étais biaisé par cours sur les endomorphismes où je n'ai pratiqué que des exercices où la notion de polynôme était systématiquement reliée à celle du polynôme caractéristique. Je comprends mieux le cadre plus ouvert de l'énoncé à présent.
Petite question complémentaire : pour montrer le "ssi" : faut-il décomposer la résolution en une implication et puis démontrer la réciproque, ou bien est-ce qu'on peut avoir des équivalences tout le long du raisonnement (Je ne vois pas où ça coincerait...)
Pierre
#27 Re : Entraide (supérieur) » Matrice d'une rotation » 29-03-2023 09:42:39
Merci pour ce complément Michel, mais il manque encore quelques pièces à mon puzzle.
Ca m'énerve, je me dis que ça doit être juste devant mes yeux, mais je n'y arrive pas :
1)
a) Pour le déterminant, en fait c'est plutôt a3+b3+c3-3abc (= 1) non ?
selon première colonne : (-1)² a(a²-bc) + (-1)3 c(ab-c²)+(1)4b(b²-ac) ?
b) Si je ne me suis pas trompé ci-dessus (une vérif à la calculatrice semble me dire que non), comment trouve-t-on le a+b+c=1 alors ?
c) Merci pour mon oubli sur le fait que matrice orthogonale --> vecteurs orthonormés donc a2+b2+c2=1
Et merci aussi pour les relations racines/coeffs dont j'avais oublié certaines !
2) Pour la réciproque :
Quel est ce polynôme en fait ? Pas le polynome carac quand même ? Une rotation, c'est pas diagonalisable en général, donc si c'était lui, il devrait pas avoir 3 racines de toute façon...
Tu me dis que les coeffs d'une rotation sont réels : soit, mais, sauf erreur, son polynome carac est pas scindé : en dimension 3, on n'a qu'une racine si elle n'est pas l'identité ou une symétrie axiale, non ?
Merci !
#28 Re : Entraide (supérieur) » Matrice d'une rotation » 28-03-2023 18:09:38
Bonsoir !
Bon alors désolé, mais je ne viens pas apporter une réponse (je pense que l'indication de Michel suffit), mais poser des questions sur le raisonnement initial qui me met en difficulté :
1a) Je ne comprends pas comment on arrive aussi facilement aux expressions ab+ac+bc=0 , a^2+b^2+c^2=1 et a+b+c=1 en partant du fait que la matrice est orthogonale et de det=1... Pour ma part :
- det=1 donne a3+b3+c3=1
- Dire que les vecteurs colonne ou ligne de la matrice sont orthogonaux amène tout au plus une seule équation ab+ac+bc=0 par produit scalaire
--> Je ne comprends pas comment tu arrives aussi directement à tes équations et comment on peut dire qu'elles correspondent au polynome recherché
- Donc pour ma part j'utilise A-1 = tA avec la comatrice, ce qui amène directement le système a3=a2+abc, b3=b2+abc, c3=c2+abc, qui correspondent donc tous les 3 à l'équation du polynôme indiqué avec k=abc. Mais ça m'intéresserait de comprendre ton approche.
1b) Pour la réciproque, c'est pareil, je suis sec. D'où vient l'idée que ce polynôme doit avoir exactement trois racines réelles ? J'avoue que je ne comprends même pas d'où il sort, ce polynôme, le seul auquel je pense serait le polynôme caractéristique, mais qui, pour une rotation, devrait être homogène à un (x-1) [(x-cos(theta))² + sin²(theta)] non ? (donc 3 racines réelles uniquement pour theta=0 ou PI) ?
Merci de votre aide !
Pierre
#29 Re : Café mathématique » Ce site de maths est INCROYABLE » 28-03-2023 08:46:32
Bonjour,
Juste pour apporter un gros '+1' aux remerciements de Spike.
Je suis même surpris que, avec plus de 500 vues, il n'y ait pas eu de réponses dans le même sens !
Je suis tout à fait d'accord : en candidat libre pour le CAPES cette année, j'ai trouvé dans ce site des ressources inestimables pour mes révisions ! Ex-ingénieur, mes années de Sup/Spé remontent à loin (1989-90 !) et mes TD de maths disparus... quel bonheur de trouver ici des synthèses claires sur les points essentiels, des formulaires pour répondre aux exercices, et de multiples exercices corrigés !
Sans compter l'aide du forum !
Un immense merci au(x) fondateur(s) à l'équipe !
Pierre
#30 Re : Entraide (supérieur) » Quizz Sommes directes dans un ev » 24-03-2023 14:44:58
@Fred : pas de souci, c'était facile à comprendre :-)
@Michel : merci du complément et notamment de l'exemple dans R², pratique à visualiser !
#31 Re : Entraide (supérieur) » Quizz Sommes directes dans un ev » 24-03-2023 09:27:20
Merci Fred ! (j'imagine que ton doigt a glissé pour le vect(e1) qui est plutôt vect(e2) ;-) Je vais faire l'exercice de ce pas !
Pierre
#32 Entraide (supérieur) » Quizz Sommes directes dans un ev » 24-03-2023 09:04:25
- plem06
- Réponses : 5
Bonjour à tous !
J'ai des interrogations par rapport à mes révisions sur les ev. Pouvez-vous m'aider ?
Cela concerne les points suivants :
1) Peut-on dire que, pour un endomorphisme donné u dans un ev de dimension fini n, on a ker(u) et Im(u) qui sont toujours supplémentaires ? J'imagine que non car je ne l'ai vu nulle part, et que certains exercices proposent de le démontrer pour une projection par exemple, mais j'avoue ne pas comprendre pourquoi, a fortiori quand on considère le théorème du rang...
2) Dans un des cours de ce (super) site, on lit :
Plus généralement, on définit la somme de p sous-espaces vectoriels F1,…,Fr de E par F1+⋯+Fr={x1+⋯+xr; x1∈F1,…,xr∈Fr}. C'est un sous-espace vectoriel de E. La somme F1+⋯+Fr est directe si la décomposition de tout vecteur de F1+⋯+Fr sous la forme x1+⋯+xr avec xi∈Fi est unique. Ceci revient à dire que si x1+⋯+xr=0E avec xi∈Fi, alors xi=0
ATTENTION : Si r≥2, on ne peut pas caractériser le fait que F1,…,Fr sont en somme directe en vérifiant que Fi∩Fj={0E} si i≠j.
--> Je ne comprends pas la ligne d'avertissement : pourquoi ça marche pour r=2 mais pas au-delà ?
Merci !
Pierre
#33 Re : Entraide (supérieur) » Propriétés évidentes en arithmétique ? » 19-03-2023 15:37:01
Oh mon Dieu !
Désolé et merci à vous !
#34 Re : Entraide (supérieur) » Propriétés évidentes en arithmétique ? » 19-03-2023 14:56:54
Merci de votre aide, pour le 2/ c’est vrai que c’est bien mieux que mon binôme de Newton ! Je manque sérieusement de pratique en arithmétique, je crois ! :-)
Par contre, pour le 1/ je ne suis pas encore aligné : Fred décrit la propriété de multiplication, que je comprends et que j’ai bien vue dans les cours, mais le cours indique aussi qu’on ne PEUT PAS faire la division. Or c’est bien ce qu’on cherche à faire ici, non ? Pareil pour Mateo_13 : je comprends bien ton égalité, mais je ne vois pas comment conclure que DONC 10r congru à 1 modulo 7.
(Je dois vraiment pas être bien réveillé, c’est pas possible !)
Pierre
#35 Entraide (supérieur) » Propriétés évidentes en arithmétique ? » 19-03-2023 10:57:14
- plem06
- Réponses : 5
Bonjour à tous,
Je suis tombé sur des corrections d'exercices d'arithmétiques où le passage d'une ligne à l'autre semble évident à l'auteur... mais pas à moi : pourriez-vous m'indiquer si j'ai loupé un théorème de base ?
1) dans cet exercice : Montrer que 10k ≡ 1 [7] ssi k=6.
Réponse :
Le petit théorème de Fermat donne 106≡1 [7]
donc si k=6q+r selon la division Euclidienne, 106q x 10r ≡ 1 [7] donc 10r ≡ 1 [7].
Ce dernier "donc" m'échappe complètement : je pensais qu'on ne pouvait pas diviser aussi facilement dans les congruences et pour le coup, je n'arrive pas à redémontrer cela ni à le rattacher à une propriété connue...
2) 2eme cas (suite de l'exercice en fait) : 10^r ≡ 1 [7] donc 3^r ≡ 1 [7]
Bon, j'imagine qu'on arrive facilement à trouver que c'est vrai en développant 10^r = (3+7)^r par le binôme de Newton dont un seul des termes (3^r) n'est pas divisible par r.
Mais le fait que l'auteur passe de l'un à l'autre sans aucun commentaire (l'objet de l'exercice étant de démontrer autre chose par ailleurs) est-il lié au fait que cette propriété est évidente ? Selon quelle règle/théorème ? (Je ne trouve rien de semblable dans aucun cours)
Merci de votre aide !
Pierre
#36 Re : Entraide (supérieur) » Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice » 16-03-2023 14:19:34
Bien noté, merci à vous tous pour les réponses et les conseils !
(et peut être au plaisir sur ce forum, car j'aurai sans doute de nouvelles questions :-)
#37 Re : Entraide (supérieur) » Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice » 16-03-2023 08:17:54
Merci Fred de ce retour ultra-rapide !
Mais j'ai encore qq interrogations ;-) :
Je ne conteste pas la double inclusion du b), qui garantit bien en effet toutes les solutions possibles... tirées à_partir_d'une_1ère_solution_particulière.
Ce qui m'ennuie c'est le fait de prouver que la soutien particulière de départ suffit à tirer l'ensemble final de toutes les solutions. Tu m'indiques qu'une autre solution particulière qui revient au même, soit, mais comment peut on garantir pour autant qu'on les a toutes vues (et qu'il n'y en a pas d'autres qui ne reviendraient pas à celle de départ ?)
Est-ce que cette question n'a pas lieu d'être / ne devrait pas être précisée dans une réponse à un problème ?
Merci,
Pierre
#38 Entraide (supérieur) » Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice » 16-03-2023 07:27:24
- plem06
- Réponses : 7
Bonjour à tous !
En préparation du CAPES de maths en candidat libre, je charbonne un peu les exercices du site et je suis tombé sur celui-ci :
Question : Résoudre l'équation de Bézout suivante dans Z² : 2x+5y=3
Solution :
a) Commençons par remarquer que 2∧5=1 et donc, d'après le théorème de Bézout, l'équation admet toujours une solution. Ici, il est facile de remarquer que (−1,1) est une solution particulière de l'équation.
b) Considérons maintenant un couple d'entiers (x,y)∈Z2 tel que 2x+5y=3. Alors, puisque 2×(−1)+5×1=3, on en déduit en soustrayant ces deux équations que 2(x+1)+5(y−1)=0⟺2(x+1)=−5(y−1). On a donc 2|−5(y−1) et donc, puisque 2∧5=1, le théorème de Gauss assure que 2|y−1. On en déduit l'existence de k∈Z tel que y=1+2k. Si on reporte ceci dans l'équation 2(x+1)=−5(y−1), on trouve que x=−1−5k. Réciproquement, tout couple d'entiers de la forme (−1−5k,1+2k) avec k∈Z est solution de l'équation. Ainsi, on a prouvé que l'ensemble des solutions est S={(−1−5k,1+2k); k∈Z}.
Ma question est la suivante : selon ce raisonnement, on est parti d'une solution particulière dans le a) qui a permis ensuite de dégager une solution générale. Mais comment peut on assurer qu'il n'y aurait pas d'autres solutions particulières qui auraient amenées elles aussi à d'autres solutions générales de type b) ?
Merci de votre aide,
Pierre