Forum de mathématiques - Bibm@th.net

plem06

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Propriétés évidentes en arithmétique ?

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur des corrections d'exercices d'arithmétiques où le passage d'une ligne à l'autre semble évident à l'auteur... mais pas à moi : pourriez-vous m'indiquer si j'ai loupé un théorème de base ?

1) dans cet exercice : Montrer que 10^k ≡ 1 [7] ssi k=6.

Réponse :
Le petit théorème de Fermat donne 10⁶≡1 [7]
donc si k=6q+r selon la division Euclidienne, 10^6q x 10^r ≡ 1 [7] donc 10^r ≡ 1 [7].

Ce dernier "donc" m'échappe complètement : je pensais qu'on ne pouvait pas diviser aussi facilement dans les congruences et pour le coup, je n'arrive pas à redémontrer cela ni à le rattacher à une propriété connue...

2) 2eme cas (suite de l'exercice en fait) : 10^r ≡ 1 [7]  donc 3^r ≡ 1 [7]

Bon, j'imagine qu'on arrive facilement à trouver que c'est vrai en développant 10^r = (3+7)^r par le binôme de Newton dont un seul des termes (3^r) n'est pas divisible par r.
Mais le fait que l'auteur passe de l'un à l'autre sans aucun commentaire (l'objet de l'exercice étant de démontrer autre chose par ailleurs) est-il lié au fait que cette propriété est évidente ? Selon quelle règle/théorème ? (Je ne trouve rien de semblable dans aucun cours)

Merci de votre aide !

Pierre

Fred

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Re : Propriétés évidentes en arithmétique ?

Bonjour,

1) C'est lié au fait que si $a=b\ [n]$ et $c=d\ [n],$ alors $ac=bd\ [n].$

2) C'est un peu pareil... $10=3\ [7]$ donc $10\times 10=3\times 3\ [7]$ puis par récurrence $10^r=3^r\ [7].$

F.

Mateo_13

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Re : Propriétés évidentes en arithmétique ?

Bonjour Plem,

10^6q x 10^r ≡ 1 [7] donc 10^r ≡ 1 [7].

Ce dernier "donc" m'échappe complètement : je pensais qu'on ne pouvait pas diviser aussi facilement dans les congruences et pour le coup, je n'arrive pas à redémontrer cela ni à le rattacher à une propriété connue...

10^6q≡(10⁶)^q ≡1^q≡1 [7]

2) 2eme cas (suite de l'exercice en fait) : 10^r ≡ 1 [7]  donc 3^r ≡ 1 [7]

10≡ 3 [7] or 10^r ≡ 1 [7]  donc 3^r ≡ 1 [7]

Amicalement,
--
Mateo.

plem06

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Re : Propriétés évidentes en arithmétique ?

Merci de votre aide, pour le 2/ c’est vrai que c’est bien mieux que mon binôme de Newton ! Je manque sérieusement de pratique en arithmétique, je crois !   :-)

Par contre, pour le 1/ je ne suis pas encore aligné : Fred décrit la propriété de multiplication, que je comprends et que j’ai bien vue dans les cours, mais le cours indique aussi qu’on ne PEUT PAS faire la division. Or c’est bien ce qu’on cherche à faire ici, non ? Pareil pour Mateo_13 : je comprends bien ton égalité, mais je ne vois pas comment conclure que DONC 10^r congru à 1 modulo 7.

(Je dois vraiment pas être bien réveillé, c’est pas possible !)

Pierre

Michel Coste

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Re : Propriétés évidentes en arithmétique ?

Bonjour,
Une nouvelle fois :
Puisque [tex]10^6\equiv 1\bmod7[/tex],
[tex]10^k\equiv 10^{6q+r}\equiv (10^6)^q\times 10^r\equiv 1^q\times 10^r\equiv 10^r\bmod7[/tex]

Dernière modification par Michel Coste (19-03-2023 15:17:28)

plem06

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Re : Propriétés évidentes en arithmétique ?

Oh mon Dieu !

Désolé et merci à vous !