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plem06

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Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice

Bonjour à tous !

En préparation du CAPES de maths en candidat libre, je charbonne un peu les exercices du site et je suis tombé sur celui-ci :

Question : Résoudre l'équation de Bézout suivante dans Z² : 2x+5y=3

Solution :
a) Commençons par remarquer que 2∧5=1 et donc, d'après le théorème de Bézout, l'équation admet toujours une solution. Ici, il est facile de remarquer que (−1,1) est une solution particulière de l'équation.
b) Considérons maintenant un couple d'entiers (x,y)∈Z2 tel que 2x+5y=3. Alors, puisque 2×(−1)+5×1=3, on en déduit en soustrayant ces deux équations que 2(x+1)+5(y−1)=0⟺2(x+1)=−5(y−1). On a donc 2|−5(y−1) et donc, puisque 2∧5=1, le théorème de Gauss assure que 2|y−1. On en déduit l'existence de k∈Z tel que y=1+2k. Si on reporte ceci dans l'équation 2(x+1)=−5(y−1), on trouve que x=−1−5k. Réciproquement, tout couple d'entiers de la forme (−1−5k,1+2k) avec k∈Z est solution de l'équation. Ainsi, on a prouvé que l'ensemble des solutions est S={(−1−5k,1+2k); k∈Z}.

Ma question est la suivante : selon ce raisonnement, on est parti d'une solution particulière dans le a) qui a permis ensuite de dégager une solution générale. Mais comment peut on assurer qu'il n'y aurait pas d'autres solutions particulières qui auraient amenées elles aussi à d'autres solutions générales de type b) ?

Merci de votre aide,

Pierre

Fred

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Re : Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice

Bonjour,

  D'abord, la nature du raisonnement fait en 2. garantit que l'on a bien toutes les solutions. On a en effet fait un raisonnement par double inclusion.
Ensuite, si tu étais parti d'une autre solution particulière, par exemple $(-6,3)$, tu aurais trouvé que l'ensemble des solutions est $\{(-6+5k,3+2k):\ k\in\mathbb Z\}.$ Mais cela n'est pas grave car les deux ensembles sont égaux :
$\{(-6+5k,3+2k):\ k\in\mathbb Z\}=\{(-1-5k,1+2k):\ k\in\mathbb Z\}.$
Par exemple, c'est facile de voir que $(-6-5k,3+2k)=(-1-5(k+1),1+2(k+1))$.

F.

plem06

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Re : Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice

Merci Fred de ce retour ultra-rapide !

Mais j'ai encore qq interrogations  ;-)   :

Je ne conteste pas la double inclusion du b), qui garantit bien en effet toutes les solutions possibles... tirées à_partir_d'une_1ère_solution_particulière.

Ce qui m'ennuie c'est le fait de prouver que la soutien particulière de départ suffit à tirer l'ensemble final de toutes les solutions. Tu m'indiques qu'une autre solution particulière qui revient au même, soit, mais comment peut on garantir pour autant qu'on les a toutes vues (et qu'il n'y en a pas d'autres qui ne reviendraient pas à celle de départ ?)

Est-ce que cette question n'a pas lieu d'être / ne devrait pas être précisée dans une réponse à un problème ?

Merci,

Pierre

Michel Coste

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Re : Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice

Bonjour,
C'est une propriété commune à toutes les équations linéaires de la forme [tex]L(x)=b[/tex] où [tex]L[/tex] est une application linéaire. Ici [tex]L:\mathbb Z^2\to \mathbb Z[/tex] est l'application [tex]\mathbb Z[/tex]-linéaire [tex](x,y)\mapsto 2x+5y[/tex] et [tex]b=3[/tex].

La solution générale d'une équation linéaire [tex]L(x)=b[/tex] est la somme d'une solution particulière de l'équation et de la solution générale de l'équation homogène [tex]L(x)=0[/tex] (linéarité de [tex]L[/tex]).

La raison en est très simple : si [tex]L(a)=b[/tex] alors [tex]L(a+x)=b[/tex] si et seulement si [tex]L(x)=0[/tex].

Tu connais sûrement l'application de ce principe pour les équations différentielles linéaires. Et tu sais sûrement aussi que quelle que soit la solution particulière de l'équation différentielle complète qu'on a trouvée, on obtient bien la solution générale en ajoutant à cette solution particulière la solution générale de l'équation différentielle homogène.

Bernard-maths

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Re : Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice

Bonjour à tous !

Je vais mettre un peu de pagaille, en changeant un peu l'énoncé ...

Question : Résoudre l'équation de Bézout suivante dans Z² : - 2 lxl + 5 lyl = 3       (avec des val abs)

Bien sur, il faudra procéder en plusieurs étapes !

Mais si on connaît une solution particulière (1, 1), on ne peut (à priori) pas en déduire l'ensemble des solutions ...

Il faut donc bien connaître les types de problèmes qu'on aborde ...

Désolé ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-03-2023 11:20:32)

Michel Coste

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Re : Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice

Ben oui, [tex](x,y)\mapsto -2|x|+5|y|[/tex] n'est pas linéaire !

Bernard-maths

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Re : Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice

Voilà ce que je voudrais dire à plem06.

Pour résoudre un problème, on doit savoir quel est son type ... une fois identifié, soit on connaît les propriétés et théorèmes de ce type, et on les applique en y faisant référence, soit on ne les connaît pas ...

Mais on peut être curieux, alors on se documente, et on apprend. Ou bien on se lance dans la "recherche", on démontre pas à pas ... si on peut.

C'est ainsi pour toute "discipline", soit on est utilisateur, et on connaît les règles de base, ou plus ... soit on arrive aux limites connues, et on doit se lancer dans la recherche !

Alors, bonne suite !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-03-2023 14:06:28)

plem06

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Re : Raisonnement / Complétude des solutions d'un exercice

Bien noté, merci à vous tous pour les réponses et les conseils !

(et peut être au plaisir sur ce forum, car j'aurai sans doute de nouvelles questions :-)