Forum de mathématiques - Bibm@th.net

plem06

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Quizz Sommes directes dans un ev

Bonjour à tous !

J'ai des interrogations par rapport à mes révisions sur les ev. Pouvez-vous m'aider ?

Cela concerne les points suivants :

1) Peut-on dire que, pour un endomorphisme donné u dans un ev de dimension fini n, on a ker(u) et Im(u) qui sont toujours supplémentaires ? J'imagine que non car je ne l'ai vu nulle part, et que certains exercices proposent de le démontrer pour une projection par exemple, mais j'avoue ne pas comprendre pourquoi, a fortiori quand on considère le théorème du rang...

2) Dans un des cours de ce (super) site, on lit :
Plus généralement, on définit la somme de p sous-espaces vectoriels F1,…,Fr de E par F1+⋯+Fr={x1+⋯+xr; x1∈F1,…,xr∈Fr}. C'est un sous-espace vectoriel de E. La somme F1+⋯+Fr est directe si la décomposition de tout vecteur de F1+⋯+Fr sous la forme x1+⋯+xr avec xi∈Fi est unique. Ceci revient à dire que si x1+⋯+xr=0E avec xi∈Fi, alors xi=0
ATTENTION : Si r≥2, on ne peut pas caractériser le fait que F1,…,Fr sont en somme directe en vérifiant que Fi∩Fj={0E} si i≠j.

--> Je ne comprends pas la ligne d'avertissement : pourquoi ça marche pour r=2 mais pas au-delà ?

Merci !

Pierre

Fred

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Re : Quizz Sommes directes dans un ev

Bonjour,

1.  Non, en général ils ne le sont pas. Si tu prends $f(x,y)=(0,x)$ par exemple, alors $\ker(f)=\textrm{Im}(f)=\textrm{vect}(e_1).$

2. Cet exercice du site propose un contre-exemple qui explique pourquoi ça ne fonctionne plus à partir de 3 sous-espaces vectoriels.

F.

plem06

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Re : Quizz Sommes directes dans un ev

Merci Fred ! (j'imagine que ton doigt a glissé pour le vect(e1) qui est plutôt vect(e2)  ;-) Je vais faire l'exercice de ce pas !

Pierre

Michel Coste

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Re : Quizz Sommes directes dans un ev

Bonjour,

Quelques compléments :

1) Le théorème du rang te dit que [tex]\dim(\ker(u))+\dim(\mathrm{im}(u))=n[/tex]. Donc [tex]\ker(u)[/tex] et [tex]\mathrm{im}(u)[/tex] sont supplémentaires si et seulement si leur intersection est réduite à [tex]\{0\}[/tex]. Ceci équivaut aussi à [tex]\mathrm{rg}(u^2)=\mathrm{rg}(u)[/tex]. Ceci ne se produit bien sûr pas pour tous les endomorphismes !

2) Prends trois droites vectorielles distinctes dans [tex]\mathbb R^2[/tex]. Tu vois bien que leurs intersections 2 à 2 sont réduites à l'origine. Et pourtant elles ne sont sûrement pas en somme directe : tu peux décomposer tout vecteur de la troisième comme somme d'un vecteur de la première et d'un vecteur de la deuxième.

Dernière modification par Michel Coste (24-03-2023 09:58:18)

Fred

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Re : Quizz Sommes directes dans un ev

Re-

  Désolé, en fait ce que je voulais écrire c'est $f(x,y)=(y,0)$....

F.

plem06

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Re : Quizz Sommes directes dans un ev

@Fred : pas de souci, c'était facile à comprendre :-)

@Michel : merci du complément et notamment de l'exemple dans R², pratique à visualiser !