Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bien évidemment ! Il s'git bien de la latitude à laquelle se trouve le pendule ! De quelle autre latitude pourrait-il s'agir ??

Tu n'as visiblement toujours pas compris le principe du TVI ! (Tu représentes pour moi un enseignement précieux car je ferai dorénavant attention avec mes élèves de Terminale à ce que ne se cachent pas dans leur esprit des confusions "yopiennes".)

Je me rends compte grâce à toi que la formulation classique « Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $\alpha$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(\alpha) = k$ » peut prêter à confusion.

Tout d'abord, il est très important de comprendre qu'entrent en jeu deux paires de bornes :

• les bornes $a$ et $b$ qui encadrent la variable (qui peut bien sûr évoluer en dehors de cet intervalle, mais on ne s'intéresse qu'à l'évolution de la variable entre ces deux bornes) ;

• et les bornes $f(a)$ et $f(b)$ entre lesquelles on choisit la valeur $k$ .
  Important : Il ne s'agit pas des bornes des valeurs que prend la fonction sur l'intervalle $[a ; b]$. Il ne s'agit donc pas des valeurs minimale et maximale de $f(x)$ sur $[a ; b]$ !!!

Il faut donc traduire « Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe [...] » par « Lorsque les valeurs $f(a)$ et $f(b)$ sont de part et d'autre du réel $k$, il existe [...] »

J'observe régulièrement que le TVI est un point dur conceptuel pour les élèves. Tes confusions me le confirment ô combien !
J'utiliserai donc maintenant la formulation « Lorsque les valeurs $f(a)$ et $f(b)$ sont de part et d'autre du réel $k$, il existe [...] ».
Merci donc de faire évoluer ma pédagogie.  :-)

Dans notre cas, les bornes entre lesquelles doit être choisie la période de rotation souhaitée sont, pour l'hémisphère nord, $+24 \: h$ et une valeur suffisamment grande pour pouvoir être considérée comme "+ infini", et, pour l'hémisphère sud, une valeur suffisamment grande en valeur absolue pour pouvoir être considérée comme "- infini" et $- 24 \: h$.
La latitude correspondante se trouve entre $0$ et $\dfrac {\pi} 2$ dans l'hémisphère nord, et entre $- \dfrac {\pi} 2$ et $0$ pour l'hémisphère sud.

Oui !

Comme je le précise dans mon précédent post, il faut raisonner à pulsation $\omega$ constante, en prenant par exemple celle du pendule du Panthéon. Donc, pour chaque latitude (incluant l'altitude), connaissant la valeur de $g$ locale, il faut ajuster $L$ pour obtenir cette constante :

$\omega = \sqrt {\dfrac L g}  \Rightarrow  \dfrac L g = \omega^2  \Rightarrow  L = \omega^2 g$

Contrairement à ce que j'écrivais initialement, il n'est donc pas nécessaire d'émettre des hypothèses simplificatrices.

J'oubliais : En LaTeX, il faut utiliser la barre inverse \ pour indiquer une fonctionnalité — par exemple \sinus \dfrac — ou pour indiquer une lettre grecque — par exemple \alpha \beta \omega. LaTxeX ne comprend pas \ avec une simple d'où les rouges de $\k$ et $\c$.

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Ceci dit, comme tu as pu le constater je t'ai accordé, sans même te connaître, une disponibilité et une attention explicative sans doute hors norme.
Maintenant, j'ai besoin de aussi travailler pour moi...

Approprie-toi ce que je t'explique, notamment dans mes deux derniers posts et cherche à répondre par toi-même à tes questionnements.
La compréhension se fait aussi par les questions qu'on se pose et auxquelles on répond soi-même. (Personnellement, je comprends plein de choses en suivant ce principe, et de façon bien plus approfondie que si on mes les expliquait.)

Bonjour Yop, bonjour à tous,

Ces multiples tâtonnements aboutissent finalement à un raisonnement simple, inattaquable tant du point de vue mathématique que du point de vue physique.

(La valeur d'un raisonnement s'illustre par la simplicité de l'énoncé de la formulation finale. L'exemple le plus connu est $e = mc^2$. Mais pour arriver à une formulation aussi concise, le génial Albert a dû préalablement effectuer pas mal de calculs de très haut niveau conceptuel !)

Ce raisonnement (détaillé) est le suivant :

• Pour une longueur $L$ donnée, et en un lieu donné, caractérisé par l'accélération de la pesanteur $g$ , la période d'oscillation $T_o$ d'un pendule de Foucault est déterminée par la formule $T_o = 2\pi \sqrt {\dfrac L g}$ .

  (Cette formule est étudiée en Terminale en Physique-Chimie.)

• La grandeur $\sqrt {\dfrac L g}$ est appelée pulsation, et est notée $\omega$. Nous raisonnerons donc à pulsation égale, par exemple en prenant pour pulsation de référence celle du pendule du Panthéon à Paris. Cela signifie que, pour un lieu donné, il faut ajuster la longueur du pendule en fonction de la valeur de $g$ locale.

• La période de rotation $T_r$ du pendule est égale à la période d'oscillation divisée par le sinus de la latitude $\phi$ du lieu, comptée pour les besoins du sujet en radians et non en degrés, ce qui se traduit par la formule finale

       $T_r = 2\pi \sqrt {\dfrac L g} \times \dfrac 1 {\sin \phi}$   ou, en utilisant la pulsation $\omega$   $T_r =  \dfrac {2\pi \omega}{\sin \phi}$

  (La division par $\sin \phi$ est notamment explicitée dans l'article de Wikipédia consacré au pendule de Foucault.)

  Note : La période de rotation du pendule est appelée "jour pendulaire".

• la signification physique de cette formule est la suivante :
       

  • A l'Equateur, c'est-à-dire à une latitude nulle, la période de rotation est infinie : le pendule oscille avec sa période $T_o$ mais ne tourne pas.

       

  • Le pendule commence à tourner dès qu'on quitte l'équateur. (Il tourne dans le sens horaire dans l'hémisphère nord, et dans le sens anti-horaire dans l'hémisphère sud.)

    - Plus on s'éloigne de l'équateur, plus la période de rotation diminue : elle est de l'ordre de deux jours à une latitude 30° (dans l'hémisphère nord, celle du Caire), et de 1,4 jour à une latitude de 45° (toujours dans l'hémisphère nord, celle de Bordeaux).

    - A l'un des pôles, c'est-à-dire à une latitude de $\dfrac {\pi} 2$ radians, $\sin \phi = 1$. La période de rotation est alors égale à $2\pi \omega$, qui correspond à notre journée de 24 h. (Plus précisément, 23 h 56 min 4 s, qui est la période de rotation de la Terre par rapport aux étoiles, appelée "jour sidéral", et non par rapport au Soleil : en une journée, la Terre se déplace légèrement par rapport au Soleil, d'où la nécessité de définir le jour sidéral, qui lui reste immuable.)

     

• Pour une pulsation $\omega$ fixée, la dérivée de la période de rotation est égale à $- \dfrac {2\pi \omega \cos\phi}{\sin^2 \phi}$
  Elle est toujours négative sur $\left[ - \dfrac {\pi} 2 ; \dfrac {\pi} 2 \right]$.
  D'où le tableau de variation suivant
  [Je te laisse le soin de l'établir d'après mon explication précédente. Remplace simplement $+JS$ et $-JS$ par $+ 24 \, h$ et $- 24 \, h$ en expliquant que le signe $-$ permet de tenir compte du sens de rotation du pendule selon l'hémisphère, en prenant pour sens positif le sens horaire dans lequel le pendule tourne dans l'hémisphère nord — le premier pendule ayant été réalisé à Paris, c'est-à-dire dans l'hémisphère nord, il est pertinent de choisir le sens horaire comme sens positif.)

• L'application du TVI se traduit finalement ainsi :
  A pulsation fixée, à toute valeur $T$ finie supérieure ou égale en valeur absolue à 24 h, on peut définir une latitude $\phi$, dans l'hémisphère nord ou dans l'hémisphère sud, pour laquelle la période de rotation du pendule est égale à $T$.

  Le seul "petit problème" est de pouvoir réaliser un pendule de Foucault en n'importe quel point du globe, y compris en plein Océan Arctique sur le 60ème parallèle sud, sur lequel il n'y a aucune terre ferme. Mais cela relève simplement de basses considérations matérielles par rapport à l'intérêt considérable pour l'humanité de cette expérience. :-)

Si tu assimiles bien ce raisonnement, tu as de quoi présenter "un cours magistral", avec un enchaînement rigoureux, qui ne manquera pas d'impressionner le jury, en le terminant en plus par une note d'humour.
Tu as donc de quoi cartonner !

PS : Réfléchis à tout cela à tête reposée, en prenant le temps de comprendre et de décanter. (Imprègne-toi de la première maxime de ma signature...)

Je comprends que tu sois dérouté avec toutes ces oscillations... pendulaires !
(Il aura fallu du temps pour véritablement comprendre la logique.)

Pars de l'expression juste. Et comprends ce que signifie une période infinie. (Et, a contrario, ce que signifie une période nulle.)

Comprends qu'en valeur absolue, la période minimale est atteinte aux pôles.

Aller de l'Equateur à l'un des deux pôles signifie que le pendule ne tourne pas à l'Equateur, puis commence à tourner lentement, puis de façon de plus en plus accentuée jusqu'au pôle. C'est au pôle que le jour pendulaire devient quasiment égal au jour de 24 h. (A Paris, il est de l'ordre de 32 heures.)

NON !!

L'expression juste est

$\phi$ étant la latitude à laquelle se trouve le pendule.

La multiplication par $\cos \phi$ signifierait qu'aux pôles la période serait nulle, et donc que le pendule tournerait à la vitesse d'un moteur : la période est l'inverse de la fréquence ; donc à une période nulle correspond une fréquence infinie !!

(J'ai demandé au Chat Qui Pète quelles sont les vitesses de rotations les plus élevées qu'on peut atteindre :
turbines à gaz : plusieurs dizaines de milliers de tours par minute ; moteurs à réaction : parfois plus de 30 000 tpm ; disque dur : entre 5 400 et 15 000 tpm.)

D'autre part, la dérivée de $\cos \phi$ est - $\sin \phi$
(Tu obtiens les dérivées en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre : sin --> cos --> - sin --> - cos --> sin.
Par contre ton tableau est juste mais non cohérent avec ton erreur.

La dérivée de $\dfrac 1 {\sin \phi}$ est   $- \dfrac 1 {sin^2 \phi} \times \cos \phi$

(dérivée de la fonction inverse par rapport à sa variable $\sin \phi$ , multipliée par la dérivée de $\sin \phi$ par rapport à sa variable $\phi$ )

La dérivée est donc toujours négative entre 0 exclus et $\dfrac {\pi} 2$ pour l'hémisphère nord, et est toujours négative entre $- \dfrac {\pi} 2$ et 0 exclus et pour l'hémisphère sud.

Cela signifie que dans l'hémisphère nord, de l'Equateur au Pôle Nord, la période (jour pendulaire) décroît d'une valeur théoriquement infinie — le pendule ne tourne pas — jusqu'à atteindre le jour sidéral de presque 24 h.

Idem dans l'hémisphère sud, de l'Equateur au Pôle Sud, en tenant compte du fait que le sens de rotation est inversé.

Si tu établis un tableau de variation entre $- \dfrac {\pi} 2$ et $\dfrac {\pi} 2$ avec une double barre en $0$, $T$ est décroissante  sur $\left[ - \dfrac {\pi} 2 ; 0 \right]$ de $-JS$ à moins l'infini (le pendule tourne en sens inverse dans l'hémisphère sud), et est décroissante de plus l'infini à $+JS$.
(JS pour jour sidéral) 

C'est important que tu écrives les expressions mathématiques en accord avec la réalité physique !

Conceptuellement, cependant, cette logique "ne casse pas trois pattes à un canard".

C'est un peu comme dire « Pour toute heure de la journée, il y a au moins une position de la petite aiguille et de la grande aiguille d'une horloge correspondant à l'heure indiquée. »
Non ? C'est vrai ?! j'aurais jamais cru !!

Donc, comme le jour pendulaire $T$ est fonction de la latitude  — $T = f(\phi )$ —, pour rester dans le cadre de principe du TVI, il faut revenir au raisonnement « Pour toute durée $T$ supérieure ou égale au jour sidéral, il existe au moins une latitude $\phi$ comprise entre $- \dfrac {\pi} 2$ (pour l'hémisphère sud) et $+ \dfrac {\pi} 2$ (pour l'hémisphère nord) pour laquelle le jour pendulaire est égal à cette durée.

Ill faut alors préciser que l'application concrète du TVI est (complètement) irréaliste car elle revient à considérer qu'on est en mesure de mettre en œuvre un pendule de Foucault en n'importe quel point du globe. (Citer l'exemple du 60ème parallèle sud.)

Donc la période de rotation du pendule est égale à la période d'oscillation divisée par le sinus de la latitude à laquelle se trouve le pendule.

Voici ce qu'explique ChatGPT à propos du jour sidéral :

« Le jour sidéral est une unité de mesure du temps basée sur la rotation de la Terre par rapport aux étoiles fixes. Contrairement au jour solaire, qui est basé sur la position apparente du Soleil dans le ciel, le jour sidéral est mesuré en fonction de la rotation de la Terre par rapport aux étoiles lointaines.

Plus précisément, le jour sidéral est le temps nécessaire à la Terre pour effectuer une rotation complète sur son axe par rapport à une étoile fixe donnée. Il est légèrement plus court que le jour solaire, car la Terre doit tourner légèrement plus loin sur son axe pour que le Soleil semble revenir exactement à la même position dans le ciel.

Le jour sidéral est utilisé principalement en astronomie pour des calculs de position et de timing précis, car il fournit une référence stable par rapport aux étoiles fixes dans le ciel.

La valeur précise du jour sidéral est d'environ 23 heures, 56 minutes et 4,1 secondes. C'est le temps qu'il faut à la Terre pour effectuer une rotation complète autour de son axe par rapport aux étoiles fixes. Cette durée est légèrement plus courte que celle du jour solaire, qui est d'environ 24 heures, car pendant que la Terre effectue sa rotation, elle avance également légèrement sur son orbite autour du Soleil. Ainsi, pour que le Soleil revienne exactement à la même position dans le ciel, la Terre doit effectuer une rotation supplémentaire par rapport aux étoiles fixes. »

Il faut insérer le lien dans la fenêtre de saisie du forum !

Clic droit, et item Recopier l'adresse. Puis copier le lien dans la fenêtre de saisie.

Bonjour à tous, bonjour Rosalina (si tu me lis...)

Le résultat obtenu permet de calculer la somme $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} \: \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) $ :

$\displaystyle \sin \left( \dfrac{\pi} 6 \right) \cdot S_n = \dfrac 1 2 \sum_{k=1}^{n} \cos (2k - 1) \dfrac {\pi} 6 - \cos (2k + 1) \dfrac {\pi} 6$

Comme $\sin \left( \dfrac{\pi} 6 \right)  = \dfrac 1 2$

$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} \cos (2k - 1) \dfrac {\pi} 6 - \cos (2k + 1) \dfrac {\pi} 6$

Soit finalement  (tous les termes intermédiaires de la somme s'annulent, sauf le premier et le dernier)

$S_n= \cos \left( \dfrac {\pi} 6 \right) - \cos(2n + 1) \dfrac {\pi} 6 $

Lorsque $n$ suit une progression arithmétique de premier terme égal à 1 et de raison égale à 3 (1, 4, 7, 10...), la somme se réduit à $\cos \left( \dfrac {\pi} 6 \right) = \dfrac {\sqrt 3} 2$ .

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PS : J'ai souhaité résoudre et expliquer cet exercice car il m'intéressait. (Je le garde en mémoire.)
Si toutefois tu veux que nous puissions à l'avenir t'aider sur des exercices qui te semblent difficiles, aie s'il te plaît la courtoisie de ne pas disparaître à peine ta demande postée...

Non !

S'il y a un prof de physique dans le jury, il y a de fortes chances qu'il repère l'anomalie de dimension, et donc qu'il te descende en flèche.
(Les équations aux dimensions permettent de vérifier qu'une égalité physique est bien réelle. Elles permettent aussi de retrouver une formule dont on se souvient partiellement.)

Peux-tu nous transmettre les références de l'article où tu as pêché ta formule ?

Bonsoir,

N'hésite pas.

Je nuance mon propos précédent : tu peux inventer une "science-fiction" dans laquelle il serait possible de construire à n'importe quelle latitude, y compris en plein Océan Arctique sur le 60ème parallèle, un édifice suffisamment haut et suffisamment massif pour abriter un pendule de Foucault — bien évidemment, en disposant de façon illimitée des budgets ad hoc — pour vérifier que pour chaque période de rotation fixée comprise entre 0 et 24 h, il existe (au moins) une latitude sur laquelle la période de rotation du pendule est exactement égale à cette période fixée.

C'est indéniablement osé, sans doute complètement inhabituel, mais cela peut être payant. (Il faut peut-être une petite pointe d'humour pour laisser imaginer au jury une bâtisse imposante construite aussi bien sur une banquise, dans une jungle ou un désert, voire en plein océan invivable.)

Il faut cependant que tu puisses t'appuyer sur une formule simplifiée de la période de rotation en fonction de la latitude qui ait réellement la dimension d'un temps !

Bonne soirée.
Bien cordialement.