grand oral

Borassus · 24-04-2024 11:23:25

Bonjour Rescassol,

Merci de ton intervention !

Là, maintenant, l'expression de T est bien homogène à un temps !

L'expression de la période de rotation serait donc :

$T(\phi) = 2\pi \times \sqrt {\dfrac L g} \times \dfrac 1 {\sin \phi}$
$\phi$ étant la latitude à laquelle se trouve le pendule.

Pour $\phi = 0$, la période est infinie : le pendule ne tourne donc pas et reste dans son plan d'oscillation initial. (Une période infinie correspond à une valeur constante.)

Pour $\phi = \dfrac {\pi} 2$, la période est celle du jour sidéral, soit 23 h 56 minutes 4 secondes.

Dernière modification par Borassus (24-04-2024 11:40:02)

Borassus · 24-04-2024 11:27:43

Voici ce qu'explique ChatGPT à propos du jour sidéral :

« Le jour sidéral est une unité de mesure du temps basée sur la rotation de la Terre par rapport aux étoiles fixes. Contrairement au jour solaire, qui est basé sur la position apparente du Soleil dans le ciel, le jour sidéral est mesuré en fonction de la rotation de la Terre par rapport aux étoiles lointaines.

Plus précisément, le jour sidéral est le temps nécessaire à la Terre pour effectuer une rotation complète sur son axe par rapport à une étoile fixe donnée. Il est légèrement plus court que le jour solaire, car la Terre doit tourner légèrement plus loin sur son axe pour que le Soleil semble revenir exactement à la même position dans le ciel.

Le jour sidéral est utilisé principalement en astronomie pour des calculs de position et de timing précis, car il fournit une référence stable par rapport aux étoiles fixes dans le ciel.

La valeur précise du jour sidéral est d'environ 23 heures, 56 minutes et 4,1 secondes. C'est le temps qu'il faut à la Terre pour effectuer une rotation complète autour de son axe par rapport aux étoiles fixes. Cette durée est légèrement plus courte que celle du jour solaire, qui est d'environ 24 heures, car pendant que la Terre effectue sa rotation, elle avance également légèrement sur son orbite autour du Soleil. Ainsi, pour que le Soleil revienne exactement à la même position dans le ciel, la Terre doit effectuer une rotation supplémentaire par rapport aux étoiles fixes. »

Borassus · 24-04-2024 11:30:57

Là, maintenant, l'expression de T est bien homogène à un temps !
L'expression de la période de rotation serait donc :
$T(\phi) = 2\pi \times \sqrt {\dfrac L g} \times \dfrac 1 {\sin \phi}$
$\phi$ étant la latitude à laquelle se trouve le pendule.

C'est-à-dire la période d'oscillation du pendule "modulée" par la latitude

Dernière modification par Borassus (24-04-2024 11:40:53)

Borassus · 24-04-2024 11:42:40

Donc la période de rotation du pendule est égale à la période d'oscillation divisée par le sinus de la latitude à laquelle se trouve le pendule.

Borassus · 24-04-2024 12:11:38

En dehors de l'hypothèse hasardeuse d'un pendule mis en œuvre à n'importe quelle latitude, y compris dans les pires conditions, le TVI peut maintenant être utilisé, pour une latitude donnée, comme suit :

Pour tout angle fixé compris entre 0 et $\pi$ radians, il y aura au moins un moment du jour pendulaire correspondant à la situation géographique du pendule où le plan d'oscillation du pendule atteindra cet angle.

Dernière modification par Borassus (24-04-2024 12:12:23)

Borassus · 24-04-2024 13:04:44

Conceptuellement, cependant, cette logique "ne casse pas trois pattes à un canard".

C'est un peu comme dire « Pour toute heure de la journée, il y a au moins une position de la petite aiguille et de la grande aiguille d'une horloge correspondant à l'heure indiquée. »
Non ? C'est vrai ?! j'aurais jamais cru !!

Donc, comme le jour pendulaire $T$ est fonction de la latitude — $T = f(\phi )$ —, pour rester dans le cadre de principe du TVI, il faut revenir au raisonnement « Pour toute durée $T$ supérieure ou égale au jour sidéral, il existe au moins une latitude $\phi$ comprise entre $- \dfrac {\pi} 2$ (pour l'hémisphère sud) et $+ \dfrac {\pi} 2$ (pour l'hémisphère nord) pour laquelle le jour pendulaire est égal à cette durée.

Ill faut alors préciser que l'application concrète du TVI est (complètement) irréaliste car elle revient à considérer qu'on est en mesure de mettre en œuvre un pendule de Foucault en n'importe quel point du globe. (Citer l'exemple du 60ème parallèle sud.)

Borassus · 24-04-2024 13:05:49

Sur ce, je pars pour mes cours du mercredi.

a+

yop · 24-04-2024 14:36:07

Merci pour ces infos.

Donc si je décide d'étudier uniquement la période de révolution du pendule afin d'illustrer mon fameux TVI, je dois étudier cette fonction :
$T(\Phi)=2\times\pi\times\sqrt{\dfrac{L}{g}}\times\cos(\Phi)$

Ce qui nous donne comme dérivée :
$T'(\Phi)=-2\times\pi\times\sqrt{\dfrac{L}{g}}\times\sin(\Phi)$

et donc on en déduit le tableau de variation :
https://www.cjoint.com/c/NDynJISxBZy

Est-ce correct, puis je continuer mon étude sur ceci ?

Borassus · 24-04-2024 19:53:10

NON !!

L'expression juste est

$T(\phi) = 2\pi \times \sqrt {\dfrac L g} \times \dfrac 1 {\sin \phi}$

$\phi$ étant la latitude à laquelle se trouve le pendule.

La multiplication par $\cos \phi$ signifierait qu'aux pôles la période serait nulle, et donc que le pendule tournerait à la vitesse d'un moteur : la période est l'inverse de la fréquence ; donc à une période nulle correspond une fréquence infinie !!

(J'ai demandé au Chat Qui Pète quelles sont les vitesses de rotations les plus élevées qu'on peut atteindre :
turbines à gaz : plusieurs dizaines de milliers de tours par minute ; moteurs à réaction : parfois plus de 30 000 tpm ; disque dur : entre 5 400 et 15 000 tpm.)

D'autre part, la dérivée de $\cos \phi$ est - $\sin \phi$
(Tu obtiens les dérivées en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre : sin --> cos --> - sin --> - cos --> sin.
Par contre ton tableau est juste mais non cohérent avec ton erreur.

La dérivée de $\dfrac 1 {\sin \phi}$ est $- \dfrac 1 {sin^2 \phi} \times \cos \phi$

(dérivée de la fonction inverse par rapport à sa variable $\sin \phi$ , multipliée par la dérivée de $\sin \phi$ par rapport à sa variable $\phi$ )

La dérivée est donc toujours négative entre 0 exclus et $\dfrac {\pi} 2$ pour l'hémisphère nord, et est toujours négative entre $- \dfrac {\pi} 2$ et 0 exclus et pour l'hémisphère sud.

Cela signifie que dans l'hémisphère nord, de l'Equateur au Pôle Nord, la période (jour pendulaire) décroît d'une valeur théoriquement infinie — le pendule ne tourne pas — jusqu'à atteindre le jour sidéral de presque 24 h.

Idem dans l'hémisphère sud, de l'Equateur au Pôle Sud, en tenant compte du fait que le sens de rotation est inversé.

Si tu établis un tableau de variation entre $- \dfrac {\pi} 2$ et $\dfrac {\pi} 2$ avec une double barre en $0$, $T$ est décroissante sur $\left[ - \dfrac {\pi} 2 ; 0 \right]$ de $-JS$ à moins l'infini (le pendule tourne en sens inverse dans l'hémisphère sud), et est décroissante de plus l'infini à $+JS$.
(JS pour jour sidéral)

C'est important que tu écrives les expressions mathématiques en accord avec la réalité physique !

Dernière modification par Borassus (24-04-2024 19:59:04)

yop · 24-04-2024 20:08:50

Bon merci beaucoup.

Ca y est je suis définitivement perdu, je vais voir ce que je vais faire.

Merci pour l'aide.

Bonne soirée.

Cordialement.
Yop

Borassus · 24-04-2024 20:16:55

Relis mes explications précédentes à partir du post #51, et prends le temps de bien les comprendre !

Encore un petit effort, et tu auras vaincu ce point dur !

Borassus · 24-04-2024 20:28:03

Je comprends que tu sois dérouté avec toutes ces oscillations... pendulaires !
(Il aura fallu du temps pour véritablement comprendre la logique.)

Pars de l'expression juste. Et comprends ce que signifie une période infinie. (Et, a contrario, ce que signifie une période nulle.)

Comprends qu'en valeur absolue, la période minimale est atteinte aux pôles.

Aller de l'Equateur à l'un des deux pôles signifie que le pendule ne tourne pas à l'Equateur, puis commence à tourner lentement, puis de façon de plus en plus accentuée jusqu'au pôle. C'est au pôle que le jour pendulaire devient quasiment égal au jour de 24 h. (A Paris, il est de l'ordre de 32 heures.)

yop · 24-04-2024 20:35:05

J'ai compris toutes ces histoires de latitude. En fonction de la latitude, la période de révolution n'est pas la même, j'ai saisi cela.

En revanche, je ne comprends pas le $\frac{1}{\sin(\Phi)}$

Ensuite, ok j'ai cette expression mais que faire ? La dérivée, en étudier son tableau de signe et en déduire le tableau de variation de ma fonction initiale ? Et comment à partir de toutes cette étude je peux illustrer ? En montrant que c'est un mouvement continu et que entre mes deux bornes, il y a une valeur de latitude qui correspond à la valeur de la période de révolution associée ?

Et énième remarque, la valeur de la longueur du pendule influe-t-elle sur quelque chose ?

@+

Dernière modification par yop (24-04-2024 20:46:36)

Borassus · 24-04-2024 22:01:18

En revanche, je ne comprends pas le $\dfrac 1 {\sin \phi}$

Je l'ai déduite de la présentation générale de l'article de Wikipédia consacré au pendule :

Je rappelle cet extrait :

« Si l'on considère le plan déterminé par :
le point de fixation du pendule (la voûte du Panthéon de Paris par exemple),
sa position au repos, donc la verticale du lieu où il est suspendu,
le point d'où il est lâché sans vitesse initiale (sans vitesse relative locale),
l'expérience met en évidence :
- que le plan d'oscillation du pendule est en rotation autour de l'axe de la verticale du lieu,
- que ce plan d'oscillation tourne dans le sens horaire dans l'hémisphère nord et dans le sens inverse dans l'hémisphère sud,
- que le plan d'oscillation effectue un tour complet en un jour sidéral aux pôles (soit 23 h 56 min 4 s), mais qu'ailleurs la période est plus longue et doit être divisée par le sinus de la latitude [c'est moi qui souligne.].
Cette période définit le jour pendulaire. À une latitude de 30°, le jour pendulaire est donc de 2 jours et à 45° de latitude de 1,4 jour. À l'équateur le pendule oscille dans un plan fixe. Une seconde expérience notable qui a eu lieu en fin de cette même année 1851 dans une église de Colombo à Ceylan à une latitude de 6° 56′ 06″ N, donc très proche de l'équateur, a démontré que la loi du sinus de Foucault se vérifiait. »

Je ne cherche pas à comprendre le pourquoi de cette division. Et cela ne m'intéresse pas !
Ce que je comprends, c'est qu'elle est cohérente avec ce qui est observé : pour $\phi$ tendant vers $0$, $\sin \phi$ tend vers 0, et donc la période tend vers l'infini, au signe près ; pour $\phi = \dfrac {\pi} 2$ , $\sin \phi = 1$ et la période est égale à $2 \pi \sqrt {\dfrac L g}$ , avec l'accélération $g$ correspondant à celle du pôle.

S'il te plaît, oublie la formule initiale avec $\times \cos \phi$ !!
Elle est fausse car elle induit une aberration physique (le pendule tournant aux pôles je ne sais combien de milliers de tours par minute, tout en continuant à osciller).

Ensuite, ok j'ai cette expression mais que faire ? La dérivée, en étudier son tableau de signe et en déduire le tableau de variation de ma fonction initiale ?

Oui ! Comme je te l'ai indiqué plus haut.

Et comment à partir de toutes cette étude je peux illustrer ? En montrant que c'est un mouvement continu et que entre mes deux bornes, il y a une valeur de latitude qui correspond à la valeur de la période de révolution associée ?

Oui ! Pour une valeur choisie de jour pendulaire, supérieure ou égale au jour sidéral, il est en théorie possible de définir dans l'un des deux hémisphères une latitude sur laquelle le jour pendulaire sera celui choisi, au sens de rotation près.

Et énième remarque, la valeur de la longueur du pendule influe-t-elle sur quelque chose ?

Bien sûr, puisqu'elle intervient dans l'expression de la période ! Il en est de même de l'accélération de la pesanteur qui varié en fonction de la latitude du fait de l'aplatissement de la Terre aux pôles. (Elle varie aussi en altitude.)

Tu devras donc édicter les conditions simplificatrices suivantes :

Quelles que soient la latitude et les conditions associées, la longueur du pendule réalisé devra toujours être la même.

Aux reliefs près, la Terre est considérée comme parfaitement sphérique ; l'accélération de la pesanteur $g$ y est donc constante

Le pendule devra être réalisé au niveau de la mer de façon à éviter le biais induit par la variation de $g$ en fonction de l'altitude.

(Comme ton illustration du TVI relève de la pure expérience de pensée, parfaitement irréalisable, tu peux te permettre quelques hypothèses simplificatrices. Il n'y aurait d'ailleurs pas de sciences physiques sans ces simplifications ! Ensuite, on affine à l'expérience pour vérifier dans quelle mesure les simplifications sont pertinentes.)

Borassus · 24-04-2024 22:05:15

PS : Réfléchis à tout cela à tête reposée, en prenant le temps de comprendre et de décanter. (Imprègne-toi de la première maxime de ma signature...)

yop · 24-04-2024 22:15:12

J'ai une petite pensée comme ça mais si je veux illustrer mon TVI mais étudiant le plan de balancement du pendule, cela revient à la même chose ?

Borassus · 24-04-2024 22:27:52

Pour utiliser le TVI, il faut une fonction continue sur un certain intervalle.

Quelle fonction de quelle variable utiliserais-tu, et sur quel intervalle ?

Nous avons réussi à vaincre les difficultés initiales. Restons donc dans notre voie !
Je le répète : laisse décanter ! La bonne compréhension viendra. Tu as maintenant toutes les billes pour.

Sur ce, je quitte le forum pour me préparer au dodo.
Bonne nuit à tous.

yop · 24-04-2024 22:34:39

OK effectivement je vais laisser reposer tout ça.

Je te remercie infiniment pour ton aide précieuse.

Je te souhaite une agréable nuit.

Cordialement.
Yop

Tartatom · 25-04-2024 11:46:32

Bonjour à tous,

j'ai choisi de présenter comme sujet de grand oral ; " Comment à travers les siècles les Hommes ont réussi à approximer le nombre Pi ?"
Et je voulais savoir si vous aviez des conseils pour aborder correctement le sujet, des idées pour une introduction ou tout autres éléments ( méthodes pour arriver à approximer etc...). Je suis preneur peu importe l'information.

Merci à tous !

yop · 25-04-2024 12:19:44

Bonjour à tous,

Je vais peut être poser une question debile, mais cela montrera à quel point je suis perdu. Les valeurs de latitude que l’on évoque depuis le début sont bien les valeurs de latitude auxquelles se trouverait le pendule.

En fait pour pouvoir illustrer mon TVI, il faut que je montre que entre mes deux bornes (donc de 90N à -90S), tout réel $\k$ (ce qui correspond à une période d’oscillation du pendule) compris entre les valeurs de période d’oscillation des deux bornes, il existe une valeur de latitude $\c$ compris entre mes deux bornes tel que que la période d’oscillation de mon pendule à la valeur de latitude $\c$ est égale à $\k$ ?

Enfin, je dois étudier la fonction qui calcule la période d’oscillation de mon pendule, en la dérivant, admettre mon tableau de signe et ensuite dresser mon tableau de variation.

Pour cela je dois poser comme conditions initiales, que je suppose que la longueur de mon pendule est la même, je suppose également une terre totalement sphérique, afin d’avoir une seule valeur de g.

J’espère que j’ai enfin pu comprendre ce qui n’allait pas.

Bonne journée.

Cordialement.
Yop

Borassus · 25-04-2024 12:59:22

Bonjour Yop, bonjour à tous,

Ces multiples tâtonnements aboutissent finalement à un raisonnement simple, inattaquable tant du point de vue mathématique que du point de vue physique.

(La valeur d'un raisonnement s'illustre par la simplicité de l'énoncé de la formulation finale. L'exemple le plus connu est $e = mc^2$. Mais pour arriver à une formulation aussi concise, le génial Albert a dû préalablement effectuer pas mal de calculs de très haut niveau conceptuel !)

Ce raisonnement (détaillé) est le suivant :

Pour une longueur $L$ donnée, et en un lieu donné, caractérisé par l'accélération de la pesanteur $g$ , la période d'oscillation $T_o$ d'un pendule de Foucault est déterminée par la formule $T_o = 2\pi \sqrt {\dfrac L g}$ .
(Cette formule est étudiée en Terminale en Physique-Chimie.)

La grandeur $\sqrt {\dfrac L g}$ est appelée pulsation, et est notée $\omega$. Nous raisonnerons donc à pulsation égale, par exemple en prenant pour pulsation de référence celle du pendule du Panthéon à Paris. Cela signifie que, pour un lieu donné, il faut ajuster la longueur du pendule en fonction de la valeur de $g$ locale.

La période de rotation $T_r$ du pendule est égale à la période d'oscillation divisée par le sinus de la latitude $\phi$ du lieu, comptée pour les besoins du sujet en radians et non en degrés, ce qui se traduit par la formule finale
$T_r = 2\pi \sqrt {\dfrac L g} \times \dfrac 1 {\sin \phi}$ ou, en utilisant la pulsation $\omega$ $T_r = \dfrac {2\pi \omega}{\sin \phi}$
(La division par $\sin \phi$ est notamment explicitée dans l'article de Wikipédia consacré au pendule de Foucault.)
Note : La période de rotation du pendule est appelée "jour pendulaire".

la signification physique de cette formule est la suivante :
- A l'Equateur, c'est-à-dire à une latitude nulle, la période de rotation est infinie : le pendule oscille avec sa période $T_o$ mais ne tourne pas.
- Le pendule commence à tourner dès qu'on quitte l'équateur. (Il tourne dans le sens horaire dans l'hémisphère nord, et dans le sens anti-horaire dans l'hémisphère sud.)
  - Plus on s'éloigne de l'équateur, plus la période de rotation diminue : elle est de l'ordre de deux jours à une latitude 30° (dans l'hémisphère nord, celle du Caire), et de 1,4 jour à une latitude de 45° (toujours dans l'hémisphère nord, celle de Bordeaux).
  - A l'un des pôles, c'est-à-dire à une latitude de $\dfrac {\pi} 2$ radians, $\sin \phi = 1$. La période de rotation est alors égale à $2\pi \omega$, qui correspond à notre journée de 24 h. (Plus précisément, 23 h 56 min 4 s, qui est la période de rotation de la Terre par rapport aux étoiles, appelée "jour sidéral", et non par rapport au Soleil : en une journée, la Terre se déplace légèrement par rapport au Soleil, d'où la nécessité de définir le jour sidéral, qui lui reste immuable.)

Pour une pulsation $\omega$ fixée, la dérivée de la période de rotation est égale à $- \dfrac {2\pi \omega \cos\phi}{\sin^2 \phi}$
Elle est toujours négative sur $\left[ - \dfrac {\pi} 2 ; \dfrac {\pi} 2 \right]$.
D'où le tableau de variation suivant
[Je te laisse le soin de l'établir d'après mon explication précédente. Remplace simplement $+JS$ et $-JS$ par $+ 24 \, h$ et $- 24 \, h$ en expliquant que le signe $-$ permet de tenir compte du sens de rotation du pendule selon l'hémisphère, en prenant pour sens positif le sens horaire dans lequel le pendule tourne dans l'hémisphère nord — le premier pendule ayant été réalisé à Paris, c'est-à-dire dans l'hémisphère nord, il est pertinent de choisir le sens horaire comme sens positif.)

L'application du TVI se traduit finalement ainsi :
A pulsation fixée, à toute valeur $T$ finie supérieure ou égale en valeur absolue à 24 h, on peut définir une latitude $\phi$, dans l'hémisphère nord ou dans l'hémisphère sud, pour laquelle la période de rotation du pendule est égale à $T$.
Le seul "petit problème" est de pouvoir réaliser un pendule de Foucault en n'importe quel point du globe, y compris en plein Océan Arctique sur le 60ème parallèle sud, sur lequel il n'y a aucune terre ferme. Mais cela relève simplement de basses considérations matérielles par rapport à l'intérêt considérable pour l'humanité de cette expérience. :-)

Si tu assimiles bien ce raisonnement, tu as de quoi présenter "un cours magistral", avec un enchaînement rigoureux, qui ne manquera pas d'impressionner le jury, en le terminant en plus par une note d'humour.
Tu as donc de quoi cartonner !

Borassus · 25-04-2024 14:00:28

yoshi a écrit :

Re,
Certes,tu parles du grand Oral ...
Pour autant ton post constitue-t-il une réponse, un conseil pour yop ??
Moi, je réponds : NON ! Et toi ?
Alors pourquoi avoir
- soit cliqué sur Répondre en dessous du dernier message ?
- soit avoir écrit directement dans le cadre Réponse rapide ?
Alors ?
Alors, tu as usé respectivement explicitement et implicitement du verbe Répondre...
[...]
Yoshi
- Modérateur -

Bonjour Yoshi,

Merci de ton intervention !

J'ai découvert la demande de @Tartatom lorsque j'ai publié mon dernier post.

Je reconnais que j'ai alors fortement froncé les sourcils car j'ai ressenti cette intrusion dans ce sujet qui s'élabore difficilement mais sûrement comme « Puisque vous vous impliquez autant dans le sujet de @yop, vous vous impliquerez sûrement dans le mien. »

En plus de l'incorrection de s'introduire ainsi dans une discussion conséquente, s'ajoute donc cette incorrection à mon égard.

J'espère que ta réponse et la mienne contribueront à l'acquisition par @Tartacom de certaines bonnes manières.

Bien à toi,
Borassus

Borassus · 25-04-2024 15:21:25

Les valeurs de latitude que l’on évoque depuis le début sont bien les valeurs de latitude auxquelles se trouverait le pendule.

Bien évidemment ! Il s'git bien de la latitude à laquelle se trouve le pendule ! De quelle autre latitude pourrait-il s'agir ??

En fait pour pouvoir illustrer mon TVI, il faut que je montre que entre mes deux bornes (donc de 90N à -90S), tout réel $\k$ (ce qui correspond à une période d’oscillation du pendule) compris entre les valeurs de période d’oscillation des deux bornes, il existe une valeur de latitude $\c$ compris entre mes deux bornes tel que que la période d’oscillation de mon pendule à la valeur de latitude $\c$ est égale à $\k$ ?

Tu n'as visiblement toujours pas compris le principe du TVI ! (Tu représentes pour moi un enseignement précieux car je ferai dorénavant attention avec mes élèves de Terminale à ce que ne se cachent pas dans leur esprit des confusions "yopiennes".)

Je me rends compte grâce à toi que la formulation classique « Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $\alpha$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(\alpha) = k$ » peut prêter à confusion.

Tout d'abord, il est très important de comprendre qu'entrent en jeu deux paires de bornes :

les bornes $a$ et $b$ qui encadrent la variable (qui peut bien sûr évoluer en dehors de cet intervalle, mais on ne s'intéresse qu'à l'évolution de la variable entre ces deux bornes) ;

et les bornes $f(a)$ et $f(b)$ entre lesquelles on choisit la valeur $k$ .
Important : Il ne s'agit pas des bornes des valeurs que prend la fonction sur l'intervalle $[a ; b]$. Il ne s'agit donc pas des valeurs minimale et maximale de $f(x)$ sur $[a ; b]$ !!!

Il faut donc traduire « Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe [...] » par « Lorsque les valeurs $f(a)$ et $f(b)$ sont de part et d'autre du réel $k$, il existe [...] »

J'observe régulièrement que le TVI est un point dur conceptuel pour les élèves. Tes confusions me le confirment ô combien !
J'utiliserai donc maintenant la formulation « Lorsque les valeurs $f(a)$ et $f(b)$ sont de part et d'autre du réel $k$, il existe [...] ».
Merci donc de faire évoluer ma pédagogie. :-)

Dans notre cas, les bornes entre lesquelles doit être choisie la période de rotation souhaitée sont, pour l'hémisphère nord, $+24 \: h$ et une valeur suffisamment grande pour pouvoir être considérée comme "+ infini", et, pour l'hémisphère sud, une valeur suffisamment grande en valeur absolue pour pouvoir être considérée comme "- infini" et $- 24 \: h$.
La latitude correspondante se trouve entre $0$ et $\dfrac {\pi} 2$ dans l'hémisphère nord, et entre $- \dfrac {\pi} 2$ et $0$ pour l'hémisphère sud.

Enfin, je dois étudier la fonction qui calcule la période d’oscillation de mon pendule, en la dérivant, admettre mon tableau de signe et ensuite dresser mon tableau de variation.

Oui !

Pour cela je dois poser comme conditions initiales, que je suppose que la longueur de mon pendule est la même, je suppose également une terre totalement sphérique, afin d’avoir une seule valeur de g

Comme je le précise dans mon précédent post, il faut raisonner à pulsation $\omega$ constante, en prenant par exemple celle du pendule du Panthéon. Donc, pour chaque latitude (incluant l'altitude), connaissant la valeur de $g$ locale, il faut ajuster $L$ pour obtenir cette constante :

$\omega = \sqrt {\dfrac L g} \Rightarrow \dfrac L g = \omega^2 \Rightarrow L = \omega^2 g$

Contrairement à ce que j'écrivais initialement, il n'est donc pas nécessaire d'émettre des hypothèses simplificatrices.

J'oubliais : En LaTeX, il faut utiliser la barre inverse \ pour indiquer une fonctionnalité — par exemple \sinus \dfrac — ou pour indiquer une lettre grecque — par exemple \alpha \beta \omega. LaTxeX ne comprend pas \ avec une simple d'où les rouges de $\k$ et $\c$.

_____________________

Ceci dit, comme tu as pu le constater je t'ai accordé, sans même te connaître, une disponibilité et une attention explicative sans doute hors norme.
Maintenant, j'ai besoin de aussi travailler pour moi...

Approprie-toi ce que je t'explique, notamment dans mes deux derniers posts et cherche à répondre par toi-même à tes questionnements.
La compréhension se fait aussi par les questions qu'on se pose et auxquelles on répond soi-même. (Personnellement, je comprends plein de choses en suivant ce principe, et de façon bien plus approfondie que si on mes les expliquait.)

Eust_4che · 25-04-2024 16:05:40

Bonjour à tous les deux,

Il est peut-être plus éclairant de voir le TVI de la façon suivante :

1. Pour qu'une partie $\mathrm{A}$ de $\mathbf{R}$, soit un intervalle, il faut et il suffit que, pour tous $x, y$ dans $\mathrm{A}$, les intervalles $[x, y]$ et $[y, x]$ (d'extrémités $x, y$) soit contenus dans $\mathrm{A}$. (Remarquons que si $x \geq y$, l'intervalle $[x, y]$ est réduit à $x$, et la relation $x \in \mathrm{A}$ entraîne évidemment $\{ x \} = [y, x] \subset \mathrm{A}$ !)

2. Soit $f$ une application de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$. Si $f$ est continue, et si $\mathrm{I}$ est un intervalle de $\mathbf{R}$, l'image $f(\mathrm{I})$ de $\mathrm{I}$ par $f$ est un intervalle de $\mathbf{R}$.

Ç'a été plus simple pour moi de voir les choses de cette façon, puisqu'elle ne nécessite pas vraiment de considérations sur bornes supérieures et inférieures des intervalles (ce qui peut devenir vite la pagaille quand on se trouve à devoir des distinctions entre les intervalles $]a, b]$, $[a, b[$, $]a, b[$, $[a, b]$, puis $]- \infty, a]$, $]- \infty, a[$, etc.)

Borassus · 25-04-2024 16:58:38

Bonjour Eust_4che,

Merci de ton intervention.

Dans cette optique, le TVI deviendrait
« Toute valeur de l'intervalle formé par $f(a)$ et $f(b)$ a au moins un antécédent dans l'intervalle formé par $a$ et $b$. »

La formulation est très plaisante par sa réduction ! (Et elle offre l'avantage de se libérer des positions de $a$ par rapport à $b$, et de $f(a)$ par rapport à $f(b)$.)
Je la testerai à la première occasion. Merci !

Par contre, je ne comprends pas bien
« (Remarquons que si $x \geq y$, l'intervalle $[x, y]$ est réduit à $x$, et la relation $x \in \mathrm{A}$ entraîne évidemment $\{ x \} = [y, x] \subset \mathrm{A}$ !) »

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#51 24-04-2024 11:23:25

Re : grand oral

#52 24-04-2024 11:27:43

Re : grand oral

#53 24-04-2024 11:30:57

Re : grand oral

#54 24-04-2024 11:42:40

Re : grand oral

#55 24-04-2024 12:11:38

Re : grand oral

#56 24-04-2024 13:04:44

Re : grand oral

#57 24-04-2024 13:05:49

Re : grand oral

#58 24-04-2024 14:36:07

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