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Rosalina

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Résoudre un exercice de trigonométrie

Bonjour / Bonsoir
S’il vous plaît pourriez-vous m’aider à résoudre un exercice que je trouve difficile en trigonométrie
et merci.
Sn = sigma de k =1 jusqu’à k=n sin(k pi divisé par 3) pour tout n de N*
Montrez que quelque soit n appartient à N*
Sin (pi sur 6 )•sin( k pi sur 3) = ( 1 sur 2 )• ( cos ( 2k -1) sur 6) - cos ( 2k+1) divisé par 6) )

Dernière modification par Rosalina (21-04-2024 14:29:44)

Borassus

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Re : Résoudre un exercice de trigonométrie

Bonjour Rosalina,

De quel exercice s'agit-il ?

Rosalina

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Re : Résoudre un exercice de trigonométrie

Bonjour / Bonsoir
S’il vous plaît pourriez-vous m’aider à résoudre un exercice que je trouve difficile en trigonométrie
et merci.
Sn = sigma de k =1 jusqu’à k=n sin(k pi divisé par 3) pour tout n de N*
Montrez que quelque soit n appartient à N*
Sin (pi sur 6 )•sin( k pi sur 3) = ( 1 sur 2 )• ( cos ( 2k -1) sur 6) - cos ( 2k+1) divisé par 6) )

Borassus

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Re : Résoudre un exercice de trigonométrie

Traduction en LaTeX (dis-moi si la transcription correspond bien à ton énoncé) :

$\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n \, \sin \left(k \dfrac {\pi} 3 \right)$

Montrez que quel que soit $n \in \mathbb{N}^*$

$\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[ \cos \left( \dfrac {2k - 1} 6 \right) - \cos \left( \dfrac {2k + 1} 6 \right) \right]$

Il me semble qu'il faut remplacer dans cette expression $k$ par $n$. C'est cela ?

Dernière modification par Borassus (21-04-2024 15:19:06)

Borassus

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Re : Résoudre un exercice de trigonométrie

Intuitivement, sans m'être lancé dans les calculs, et donc sans avoir vérifié mon intuition, je pense qu'il est judicieux de partir de l'identité
$\sin \left(k \dfrac {\pi} 3 \right) = 2 \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \cos \left( k \dfrac {\pi} 6 \right)$

Borassus

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Re : Résoudre un exercice de trigonométrie

J'ai l'impression que ce qu'on doit démontrer doit être

$\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( n \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[ \cos \left( (2n - 1) \dfrac {\pi} 6 \right) - \cos \left( (2n + 1) \dfrac {\pi} 6 \right) \right]$

Dernière modification par Borassus (21-04-2024 15:54:49)

Borassus

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Re : Résoudre un exercice de trigonométrie

Bonsoir,

Comme Rosalina ne se manifeste plus — peut-être a-t-elle obtenu la solution autrement, sans penser à nous en faire part ? autre raison ? —, je me suis décidé à me plonger dans la démonstration :

Contrairement à ce que j'indiquais, le point de départ n'est pas l'identité $sina =2 sin \left( \dfrac a 2 \right) cos\left( \dfrac a 2 \right)$.

(J'ai été trompé par la somme en début d'énoncé : je pensais qu'il fallait démontrer l'égalité à partir de cette somme.)

Il faut partir des formules trigonométriques suivantes :

$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

En soustrayant la seconde égalité de la première, on obtient

$\displaystyle \sin a \sin b = \dfrac 1 2 [ \cos(a - b) - \cos(a + b) ]$

Appliquée au produit $\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right)$, cette formule s'écrit :

$\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[\cos \left( \dfrac {\pi} 6 - k  \dfrac {\pi} 3 \right) - \cos \left( \dfrac {\pi} 6 + k  \dfrac {\pi} 3 \right) \right]$

soit   $\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[\cos \left( (1 - 2k) \dfrac {\pi} 6 \right) - \cos \left( (1 + 2k) \dfrac {\pi} 6  \right) \right]$

soit finalement

$\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[\cos \left( (2k - 1) \dfrac {\pi} 6 \right) - \cos \left( (2k + 1) \dfrac {\pi} 6  \right) \right]$

CQFD

Dernière modification par Borassus (23-04-2024 18:05:55)

Borassus

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Re : Résoudre un exercice de trigonométrie

Morale de l'histoire : Lorsqu'on est face à un produit de deux cosinus, un produit de deux sinus, ou un produit d'un cosinus et d'un sinus, toujours penser à sommer ou soustraire les formules relatives à $\cos (a + b)$ , $\cos (a - b)$ , $\sin (a + b)$ , $\sin (a - b)$

Dernière modification par Borassus (23-04-2024 11:19:54)

Borassus

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Re : Résoudre un exercice de trigonométrie

Bonjour à tous, bonjour Rosalina (si tu me lis...)

Le résultat obtenu permet de calculer la somme $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} \: \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) $ :

$\displaystyle \sin \left( \dfrac{\pi} 6 \right) \cdot S_n = \dfrac 1 2 \sum_{k=1}^{n} \cos (2k - 1) \dfrac {\pi} 6 - \cos (2k + 1) \dfrac {\pi} 6$

Comme $\sin \left( \dfrac{\pi} 6 \right)  = \dfrac 1 2$

$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} \cos (2k - 1) \dfrac {\pi} 6 - \cos (2k + 1) \dfrac {\pi} 6$

Soit finalement  (tous les termes intermédiaires de la somme s'annulent, sauf le premier et le dernier)

$S_n= \cos \left( \dfrac {\pi} 6 \right) - \cos(2n + 1) \dfrac {\pi} 6 $

Lorsque $n$ suit une progression arithmétique de premier terme égal à 1 et de raison égale à 3 (1, 4, 7, 10...), la somme se réduit à $\cos \left( \dfrac {\pi} 6 \right) = \dfrac {\sqrt 3} 2$ .

_________________

PS : J'ai souhaité résoudre et expliquer cet exercice car il m'intéressait. (Je le garde en mémoire.)
Si toutefois tu veux que nous puissions à l'avenir t'aider sur des exercices qui te semblent difficiles, aie s'il te plaît la courtoisie de ne pas disparaître à peine ta demande postée...