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Bonjour
A priori, tu pars du principe que $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe.
Il ne reste plus qu'à vérifier que $0$ est bien un neutre à droite pour la soustraction.

Bonjour
C'est effectivement toujours le problème en probabilités, dès lors qu'on se place dans une situation (pseudo-)concrète : il y a toujours une part de modélisation qui n'est pas mathématique mais relève du langage.

@Black Jack : je ne crois pas avoir laissé supposer que j'avais répondu de manière complète. Je répondais à la première question. Pour la deuxième, j'aimerais bien avoir le code Python que tu évoquais dans ton premier message.
D'un point de vue théorique, j'avais pensé à l'étude d'une marche aléatoire déséquilibrée sur $\mathbb{Z}$.

Bonjour
Sur une grille standard, le joueur qui commence a une stratégie gagnante s'il commence par jouer la colonne centrale. Le deuxième joueur peut faire partie nulle si le joueur qui commence a joué l'une des colonnes adjacentes à la colonne centrale, et il peut gagner si le premier joueur a joué l'une des autres colonnes.
source

Bonjour
L'ensemble des sous-ensembles de $\mathcal{M}(\mathcal{L})$ qui vérifient les propriétés est un ensemble non vide (il contient $\mathcal{M}(\mathcal{L})$) ordonné pour la relation d'inclusion. Son intersection est un sous-ensemble de $\mathcal{M}(\mathcal{L})$ qui vérifie également les propriétés. C'est le plus petit pour l'inclusion de ces ensembles. Il s'agit donc bien de ton $\mathcal{F}$.
Si $\mathcal{A}$ est un sous-ensemble vérifiant les propriétés et $F \in \mathcal{A}$, alors $\neg F \in \mathcal{A}$ d'après la propriété 2.
En fait, j'ai l'impression que tu confonds $F$ (qui est une formule propositionnelle) et $\mathcal{F}$ qui est un ensemble de formules propositionnelles.

Bonjour
Tu peux montrer que $\mathbb{R}$ est équipotent à $]0,1[$, puis que $]0,1[$ est équipotent à $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ (l'ensemble des suites à valeurs dans $\{0,1\}$) et enfin que $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ est équipotent à $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.

Bonjour
J'ai l'impression que le mieux pour démontrer que $K[[T]]$ est intègre est de raisonner sur l'ordre des séries formelles (le plus petit coefficient non nul). Pour montrer que $TK[[T]]$ est l'unique idéal maximal, on peut commencer par montrer que c'est un idéal maximal en remarquant qu'un idéal plus grand pour l'inclusion contient nécessairement les constantes non nulles, qui sont inversibles car $K$ est un corps, puis qu'un idéal maximal est forcément inclus dans $TK[[T]]$.
Je ne comprends pas vraiment ta définition de $v_T$ : est-ce que $I^n=T^nK[[T]]$? De plus, j'ai l'impression que dans ta définition de $d_T$, on devrait avoir $d_T(x,y)=2^{-v_T(x-y)}$ pour avoir une distance, avec la convention $2^{-\infty}=0$.
Ensuite, j'ai l'impression que $A$ est muni de la distance $d_S$ et $B$ de la distance $d_T$.
Un élément de $K((T))[[S ]]$ est une série formelle $\sum_i\frac{P_i(T)}{Q_i(T)}S^i$ où les $P_i(T)$ et $Q_i(T)$ sont des séries formelles sur $K$.

Bonjour
Tu peux essayer de voir ce qui se passe en supposant $f$ polynomiale.

Bonjour
Il faut poster ta question dans le corps du message pour plus de lisibilité.
Si $E$ est un espace vectoriel, et $A$ une partie quelconque de $E$, $Vect(A)$ est le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par $A$, c'est-à-dire le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ qui contient $A$. En particulier, c'est un espace vectoriel. Une famille génératrice d'un espace vectoriel $E$ est une partie de $E$ qui engendre $E$, c'est-à-dire telle que le plus petit sous-espace vectoriel qui la contient est $E$ tout entier. Il n'y a aucune raison pour que cette famille soit un espace vectoriel. Par exemple, avec les notations de ma première phrase, $A$ est une partie génératrice de $Vect(A)$.
Par ailleurs, un espace vectoriel n'a pas qu'une seule famille génératrice, donc on ne peut pas parler de la famille génératrice d'un espace vectoriel.

Bonjour
Pour retrouver le domaine de définition des fonctions arccosinus et arcsinus, tu peux regarder les valeurs que peuvent prendre le cosinus et le sinus d'un nombre réel.

Bonjour
Le mieux est d'utiliser les congruences. Soit $N$ un entier naturel non nul. $N$ s'écrit sous la forme $N=\sum_{k=0}^na_k10^k$ (c'est la décomposition en base 10, par exemple, $234=2\times100+3\times10+4\times1$). Ici, les $a_k$ sont les chiffres de $N$, $a_0$ étant le chiffre des unités.
Maintenant on regarde les congruences modulo $11$ en se rappelant que la relation de congruence est compatible avec les opérations : si $a \equiv a' (m)$ et $b \equiv b' (m)$ alors $a+b \equiv a'+b'(m)$ et $ab \equiv a'b' (m)$.
On a $10 \equiv -1 ~(11)$ donc $10^k \equiv (-1)^k ~(11)$.
Ainsi, $N=\sum_{k=0}^na_k10^k \equiv \sum_{k=0}^n a_k (-1)^k ~(11)$
Or, être divisible par $11$ revient à être congru à $0$ modulo $11$, cela prouve le critère de divisibilité par $11$.
On démontre de même le critère de divisibilité par $9$ en utilisant le fait que $10 \equiv 1(9)$.

Bonjour
A priori, il s'agit de la relation de forcing.