Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,  j'ai quelques difficultés répondre à ces questions, pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ? Voici l'énoncé :

On appelle nombres de mersenne, les nombres $Mn$ de la forme $Mn=2^n-1$ avec $n$ appartenant à $N^*$.

1)Soit $n$ appartenant à $N^*$ et $a$ un entier.
a) Démontrer que $a-1$ divise $a^n-1$.
b)En déduire que, si $d$ divise $n$ alors $2^d-1$ divise $Mn$

2) Démontrer que si $Mn$ est premier alors $n$ est premier. La réciproque est-elle vraie ?

3)Soient $a$ et $n$ deux entier tels que : $a》2$ et $n》2$. Démontrer que si $a^n-1$ est premier alors $a=2$ et $n$ est premier.

4) Soit $n$ un nombre premier impair et soit $p$ un diviseur premier de $Mn$. On considère l'ensemble $E$ des nombres entiers $s$ tels que $2^s$ congru à $1 [p]$.Soit $s0$ le plus petit élément de $E$.

a) Soit $s$  un élément de l'ensemble $E$.Démontrer que $s$ est un multiple de $s0$ (Indication : faire la division euclidienne de $s$ par $s0$).

b)En déduire que $s0$ divise $n$ puis que $s0=n$.

c) On rappelle le petit théorème de Fermat:
$《$Soit $p$ un nombre premier et à un entier naturel. Si $p$ ne divise pas $a$, alors $a^p-1$ congru $1[p]》$
Démontrer que $n$ divise $p-1$ et $2n$ divise $p-1$.

d) En déduire que $p$ s'écrit sous la forme $p=2kn+1$ avec $k$ appartenant $N$.
e) Application : Trouver un diviseur premier de $M23$.

Et quelques éléments de réponses :

1)b. $d$ divise $n$ donc $d$ divise $2^n-1$ donc $d$ divise $Mn$ or $d$ divise $2^d-1$ donc $2^d-1$ divise $n$

2)Si n est premier , $Mn$ n'est pas forcément premier : ex pour $n=11$, $M11= 2047$ qui n'est pas un nombre premier puisqu'il est divisible par $23$ et $89$.

3) Pour que $a^n-1$ soit premier, il faut qu'il est exactement $2$ diviseurs , 1 et lui-même. Si $a^n-1=1$ alors $a^n =2$

4)a. $s$ est un multiple de $s0$ si il existe un entier $t$ tel que $s0×t=s$ donc $s÷s0 =$...

4)b. $s0$ divise $s$ et $s$  divise $2^s-1$ or $2^s-1$ congru à $0 [p ]$ donc $p$ divise 2^s-1 sachant que $p$ est un diviseur premier de $Mn$  et donc $p$ divise $n$ alors $s0$ divise $n$.
Pour la suite : Démontrer que $n$ divise $s0$ car si $s0$ divise $n$ et si $n$ divise $s0$ alors $s0=n$

e)$M23=2^{23}-1=8388607$ qui est un nombre parfait , un diviseur de $M23$est donc $8388607$ ou $1$.

Bonjour, je suis bloquée sur un exercice pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ? Voici l'énoncé :

$a$ et $b$ sont deux entiers naturels et $n=2^a$$×3^b$
Le nombre de diviseurs de $12n$ est le double du nombre de diviseurs de $n$.
1. Montrer que l'on a : $b$$(a-1)=4$
2. En déduire les trois valeurs possibles pour $n$

Pour l'instant j'ai juste dit que si $n=2^a$$×3^b$ alors $n$ possède $(a+1)(b+1)$ diviseurs et que la décomposition de $12$ en facteurs premier est : $12=2^2 × 3$ mais après je ne sais pas trop

Bonjour,
Je bloque sur 2 programme python, pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ?

Voici l'énoncé :

https://drive.google.com/file/d/1Lbvdx- … p=drivesdk

Pour le premier je ne comprends pas trop à quoi correspondent i et p et pourquoi on les soustrait ensemble.

Pour le 2 ème j'ai essayé en prenant comme modèle le premier :

From math import *
def binaire (n) :
       L = [  ]
       n =
       while n > 0 :
              n = n //2
              r  = n%2
              L = [ r ]
L.reverse ()
return (L)

Bonjour,
Je bloque sur mon devoir maison de maths, pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé :

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$ pour tout entier naturel n.

1.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $u_n>0$.

2.Démontrer que pour tout n appartenant à $\mathbb N$, $u_{n+1}^2 -2 =\left(\frac{u_n^2- 2}{2u_n}\right)^2$

3.En déduire que $\forall  n \geq 1$, $u_n \geq \sqrt 2$

4. Démontrer que, $\forall n \in \mathbb N,\; u_{n+1}-u_n = \frac{2-u_n^2}{2u_n}$

5. En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir de n=1

6. En déduire que la suite $(u_n)$ converge puis déterminer sa limite

7. Écrire un algorithme en langage Python permettant, à partir d'un entier p entré par un utilisateur, de donner une valeur approchée de $\sqrt 2$ à $10^{-p}$ près. Le tester pour une valeur approchée de $\sqrt 2$ à $10^{-5}$ près puis à $10^{-7}$ près.

J'ai réussi à faire les 2 premières questions, pour la 3ème j'ai fais ceci :

$u_{n+1}^2 = 2 + (\frac{u_n^2-2}{2u_n})^2$

2+un carré donc supérieur ou égal à 2 et si on prend la racine carrée :

$u_{n+1}=\sqrt 2 + \frac{u_n^2-2}{2u_n}$

Donc $u_{n+1} \geq \sqrt 2$

mais pour le reste je suis un peu perdue.