Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vani94

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Dm de maths sur les suites et racine de 2

Bonjour,
Je bloque sur mon devoir maison de maths, pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé :

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$ pour tout entier naturel n.

1.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $u_n>0$.

2.Démontrer que pour tout n appartenant à $\mathbb N$, $u_{n+1}^2 -2 =\left(\frac{u_n^2- 2}{2u_n}\right)^2$

3.En déduire que $\forall  n \geq 1$, $u_n \geq \sqrt 2$

4. Démontrer que, $\forall n \in \mathbb N,\; u_{n+1}-u_n = \frac{2-u_n^2}{2u_n}$

5. En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir de n=1

6. En déduire que la suite $(u_n)$ converge puis déterminer sa limite

7. Écrire un algorithme en langage Python permettant, à partir d'un entier p entré par un utilisateur, de donner une valeur approchée de $\sqrt 2$ à $10^{-p}$ près. Le tester pour une valeur approchée de $\sqrt 2$ à $10^{-5}$ près puis à $10^{-7}$ près.

J'ai réussi à faire les 2 premières questions, pour la 3ème j'ai fais ceci :

$u_{n+1}^2 = 2 + (\frac{u_n^2-2}{2u_n})^2$

2+un carré donc supérieur ou égal à 2 et si on prend la racine carrée :

$u_{n+1}=\sqrt 2 + \frac{u_n^2-2}{2u_n}$

Donc $u_{n+1} \geq \sqrt 2$

mais pour le reste je suis un peu perdue.

Dernière modification par yoshi (05-11-2022 20:20:33)

yoshi

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Re : Dm de maths sur les suites et racine de 2

Bonsoir,

J'ai rendu ton post encore plus lisible (ton usage du LaTeX était déjà pas mal du tout ! Bravo !) ; c'était pour qui prendra ma suite, ce soir je suis HS..
J'espère ne pas avoir commis d'erreur : si c'était le cas, toutes mes plus humbles excuses, merci de le signaler...

Mais, je ne peux pas laisser passer ça :

$u_{n+1}^2 = 2 + (\frac{u_n^2-2}{2u_n})^2$
...............
$u_{n+1}=\sqrt 2 + \frac{u_n^2-2}{2u_n}$

Donc $u_{n+1} \geq \sqrt 2$

Simple question :  depuis quand $\sqrt{a+b}$ est-il égal à $\sqrt a + \sqrt b$ ???
Contre exemple :
$\sqrt{9+16}=5  \neq \sqrt 9 +\sqrt{16} = 3+4 =7$

Tu confonds avec $\sqrt{ab}=\sqrt a \times \sqrt b$...

@+

Vani94

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Re : Dm de maths sur les suites et racine de 2

Bonsoir et merci pour la rectification,

Du coup marquer ceci serait un peu plus correct :

$u_{n+1}^2 = 2 + (\frac{Un^2-2}{2Un})^2$

$u_{n+1} $= $\sqrt{2+(\frac{Un^2-2}{2Un})^2}$

Donc, $u_{n+1}$ >= $\sqrt2$

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dm de maths sur les suites et racine de 2

Bonsoir,,

C'est l'heure où je commence à écrire des sottises tu n'as pas trouvé d'erreurs dans ce que j'ai modifié ?
Parce que c'est surtout l'interprétation du $\frac 1 2$ qui m'a ennuyé...
Cette formule est bien correcte ? $u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$

Oui, maintenant c'est bon :
$u_{n+1}^2 = 2 + (\frac{u_n^2-2}{2u_n})^2$

Tu vois bien que $\left(\frac{u_n^2-2}{2u_n}\right)^2 \geq 0$
Donc que par conséquence
$u_{n+1}^2 = 2 + \left(\frac{u_n^2-2}{2u_n}\right)^2\geq 2+0$ soit $u_{n+1}^2\geq 2$
Et donc que
$u_{n+1}\geq \sqrt 2$

Question 4 : c'est du calcul tout bête
Question 5 : si tu factorises $2-u_n^2$, tu vas revoir la $\sqrt 2$... et la question 4 était placée avant la 5. Oui, c'est une évidence, mais pas que...

Cette fois, je me retire pour de bon.

@+

Zebulor

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Re : Dm de maths sur les suites et racine de 2

Bonsoir à toi et yoshi au passage,
si tu es perdue pour la question 4, tu peux la résoudre à partir de la relation de récurrence : $u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$

Gui82

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Re : Dm de maths sur les suites et racine de 2

Bonjour,

Pour la question 5, tu dois étudier le signe de [tex]u_{n+1}-u_n[/tex], et les questions 1 et 3 devraient t'aider.
Pour la question6, tu peux voir que la suite [tex](u_n)_{n \ge 1}[/tex] est décroissante et minorée, donc convergente. Et pour la détermination de la limite, tu peux utiliser la relation de récurrence au début de l'énoncé, qui doit te faire résoudre une équation du second degré.

Vani94

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Re : Dm de maths sur les suites et racine de 2

Bonsoir à vous,

Je prend en note et merci à tous pour votre aide.