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#1 13-02-2023 17:43:02
- Vani94
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Nombre complexe
Bonjour, je suis bloquée sur quelques affirmations pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?
Voici l'énoncé :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.Soit $z$ un nombre complexe.
Dire si chacune des affirmations est vraie ou fausse, en justifiant vos réponses.
Affirmation 1: Pour tout réel $x \in ]{-}\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} [$, le nombre complexe $1+e^{2ix}$ admet pour forme exponentielle $2cos(x)e^{-ix}$.
Affirmation 2 : un point $M$ d'affixe $z$ tel que $|z-i|=|z+1|$ appartient à la droite d'équation $y=-x$
Pour la 1ère je me suis dis qu'il fallait peut-être d'abord exprimer $1+e^{2ix}$ avec $cos (2x)$ et $sin(2x)$
Pour la 2 ème je ne sais pas trop par quoi commencer par contre.
Dernière modification par Vani94 (13-02-2023 17:45:11)
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#3 13-02-2023 18:11:26
- Vani94
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Re : Nombre complexe
Pour la 1 j'ai tenté :
$1+e^{2ix} $$= 1- cos (2x)+isin(2x) $$= 1-cos^2(x)-sin^2(x)+2isin(x)cos(x)$$ = sin^2(x)-sin^2(x)+2isin(x)cos(x) $$= 2isin(x)cos(x)$
Pour la 2 ème : $|z-i|=|z+1|$ $\Longleftrightarrow$ $|z-i|=|z-(-1)|$ $\Longleftrightarrow$ $|z-z{a}|=|z-z{b}|$ où $z{a}=i$ et $z{b}= -1$ donc $|z-z{a}|=|z-z{b}|$ $\Longleftrightarrow$ $MA=MB$ donc $M$ d'affixe $z= -1-i$ appartient à la droite d'équation $y=-x$ ou du moins à la médiatrice d'équation $y=-x$ ??
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#6 13-02-2023 18:56:20
- Vani94
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Re : Nombre complexe
Bonsoir zebulor,
MA=MB équivaut à dire que M est à équidistance de A et B.
Pour la factorisation par e^{ix} :
$1+ e^{2ix} = 1+ (e^{ix})^2$ $= 1 + (cos(x)+isin(x))^2$ $= 1+(1-sin^2(x))+isin^2(x)=2-sin^2(1+i)$
Et oui désolé je me suis trompé au niveau des signes pour la 1
Dernière modification par Vani94 (13-02-2023 18:57:04)
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#7 13-02-2023 18:57:22
- yoshi
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Re : Nombre complexe
Bonsoir,
Et même en admettant que l'on ait $1-\cos(2x)$ (ce qui n'est pas exact) il y aurait en prime, une faute de signe :
$1-\cos(2x)=1-[\cos^2(x) -\sin^2(x)]=1-\cos^2(x) +\sin^2(x)$...
Je suis parti de $1+e^{2ix}=1+e^{i(2x)} = 1+\cos(2x)+i\sin(2x)$
Je n'ai pas suivi l'idée de Zebulor, mais j'ai fait la question en 4 lignes : hormis la décomposition $\cos(2x)=\cos^2(x) -\sin^2(x)$, il en existe 2 autres !
Et j'ai choisi l'une de ces deux autres parce que je n'aimais pas le 1 initial ! ^_^
Question 2. Oui Tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à ....
@+
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#8 13-02-2023 19:15:41
- Vani94
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Re : Nombre complexe
Bonsoir yoshi,
Concernant la propriété oui je me suis un peu mal exprimé pour le coup :
ce que j'avais en tête c'est que si MA =MB alors M est à équidistance de A at B et donc M appartient à la médiatrice du segment [AB]. Je ne l'avais pas oubliée mais j'essayais de faire un lien avec la médiatrice du segment [AB] et la droite y=-x , qui ne marche pas pour le coup oui..
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#10 13-02-2023 19:43:11
- Vani94
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Re : Nombre complexe
Pour la 1 :
$1+e^{2ix}$ $= 1+e^i{^{(2x)}}$ $= 1 +cos(2x)+isin(2x)$ $= 1+2cos^2(x)-1+2isin(x)cos(x)$ $= 2cos^2(x)+2sin(x)cos(x)$ $=2(cos^2(x)+sin(x)cos(x))$
Dernière modification par Vani94 (13-02-2023 19:51:40)
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#11 13-02-2023 20:48:49
- yoshi
- Modo Ferox
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Re : Nombre complexe
Oui, mais factorisation incomplète et tu as oublié le i dans ta formule tout à fait à la fin :
$1+e^{2ix}$ $= 1+e^i{^{(2x)}}$ $= 1 +cos(2x)+isin(2x)$ $= 1+2cos^2(x)-1+2isin(x)cos(x)= 2cos^2(x)+2Isin(x)cos(x)$
Je te l'ai mis en majuscule ci-dessus.
Factorise... et continue, tu es pratiquement au bout : la parenthèse devrait alors te rappeler quelque chose ^_^
Quant à MA = MB, je crois pouvoir poursuivre (sauf erreur, parce que ce n'est pas une bonne heure pour moi...) en direction de ton y=-x.
Soit $z_A$ et $z_B$ les affixes de tes points A et B.
$z_A=...$ et $z_B =...$
Déduis-en les coordonnées de A et B : ....
Puis l'équation de (AB) et celle de la médiatrice de [AB] : ...
@+
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