Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Désolé de t'embêter encore (et merci pour toutes tes réponses !!), mais je ne vois pas comment appliquer le théorème de Liouville sachant qu'il considère des fonctions holomorphes définies sur $\mathbb{C}$ tout entier ce qui ici n'est pas le cas.

Autant ce que tu me dis aurais tendance à me convaincre d'un point de vue intuitif, autant je ne vois pas comment utiliser un tel argument pour prouver concrètement la proposition.

Quelques fractales (connues) que j'ai généré (sur python) récemment :

Fais vraiment attention à comment tu quantifies : tu dis que $|f(x)<\epsilon$ pour tout $\epsilon>0$ et pour tout $x \in \mathbb R$ ça veut dire que $f$ est nulle !
Si on se place à un $x$ fixé, tu es en train de dire que $|f(x)|$ est plus petit que tout réel strictement positif, donc $|f(x)|$ c'est zéro (il s'agit du seul réel positif à être strictement plus petit que tous les autres). Donc tel que tu poses la question, tous les $M$ strictement positifs fonctionne.

Bref, tout ça pour dire que ce n'est pas très clair : essaye de réfléchir précisément à ce que tu cherches à demander et à le reformuler.

Bonjour,

Fais gaffe quand tu poses tes variables : quand on pose une fonction, on pose f (ou g), et pas f(x) qui est un nombre (la valeur prise par la fonction en x). C'est également bien de préciser le domaine. Par exemple f de R dans R ce qui a l'air d'être le cas.
Attention aux quantificateurs également : si |f(x)|<ε pour tout ε>0, alors f(x)=0.

Je vais quand même essayer de répondre :
Soit x dans R, s'il EXISTE un ε tel que, |g(x)|<ε, et que, |f(x)|<M, alors on a bien pour tout x, |g(x)+f(x)|<|g(x)|+|f(x)|<M+ε=M'. Si ton ε fonctionne pour tout x dans R, alors f+g est bien majorée (et même bornée).
La propriété qu'on a utilisé ici est l'inégalité triangulaire : |a+b|<|a|+|b| pour tous réels a et b.

Si tu veux démontrer l'inégalité triangulaire, il faut faire des disjonction de cas en traitant a>0 et b>0, a<0 et b>0 etc. Sinon, ce site propose une preuve : https://share.miple.co/content/6IggazU5m0tIG

Bon courage

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