Unicité du développement en série de Laurent

Lesmathématiquescestchic · 23-08-2022 18:46:13

Bonjour,

Je lis un cours dans lequel on montre l'existence d'un développement en série de Laurent pour une fonction holomorphe sur une couronne, et ou il est précisé que le coefficient de degré $n$ est $\frac{1}{2i\pi} \displaystyle \int_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\, \mathrm{d}x$.

Il est ensuite dit que l'unicité d'une décomposition en série de Laurent pour une telle fonction est conséquence triviale de l'existence.

Mais bon... Pour moi, ce n'est pas trivial du tout. Pourriez-vous m'expliquer ?

Merci d'avance.

LCTD · 23-08-2022 22:06:20

Bonjour,

je pense que un des éléments est l'unicité du rayon de convergence d'une série entière.

Gui82 · 23-08-2022 22:27:21

Bonjour,

Le développement de Laurent sur une couronne [tex]A(a,R_1,R_2)[/tex] avec [tex]R_1<R_2[/tex] revient à considérer 2 séries entières. L'unicité du DSE donne l'unicité du développement de Laurent.

Dernière modification par Gui82 (23-08-2022 23:26:27)

Lesmathématiquescestchic · 24-08-2022 00:05:46

Gui82 a écrit :

Bonjour,
Le développement de Laurent sur une couronne [tex]A(a,R_1,R_2)[/tex] avec [tex]R_1<R_2[/tex] revient à considérer 2 séries entières. L'unicité du DSE donne l'unicité du développement de Laurent.

Autant ce que tu me dis aurais tendance à me convaincre d'un point de vue intuitif, autant je ne vois pas comment utiliser un tel argument pour prouver concrètement la proposition.

Fred · 24-08-2022 07:15:56

Bonjour,

Pour démontrer l'unicité du développement en série de Laurent, je procèderais comme suit :
si $f(z)=\sum_{k\in\mathbb Z}c_k (z-z_0)^k$, avec convergence uniforme dans un anneau $A(a,R_1,R_2)$,
alors pour tout $r$ avec $R_1<r<R_2$, on a
$$\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz=\sum_{k\in\mathbb Z}c_k\int_{\gamma}\frac{(z-z_0)^k}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$
et l'intégrale qui apparait à droite est nulle sauf si $k=n$. Cela signifie que si $f$ admet un développement en série de Laurent, ses coefficients de Laurent vérifient forcément la relation que tu as écrite dans ton premier message.
D'où l'unicité.

F.

Gui82 · 24-08-2022 09:45:12

Je détaille ce que j'avais évoqué dans mon message précédent :
Si [tex]f \in \mathcal{H}(A(a,R_1,R_2))[/tex] avec [tex]R_1<R_2[/tex], le développement de Laurent de [tex]f[/tex] s'écrit :
[tex]\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n (z-a)^n = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n (z-a)^n + \sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n} (z-a)^{-n}[/tex]
Le premier terme (partie régulière) est une série entière convergeant uniformément sur tout compact de [tex]D(a,R_2)[/tex]
Pour le deuxième terme (partie principale), en posant [tex]\omega = \frac{1}{z-a}[/tex] tu as une série entière [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}\omega^n[/tex] qui converge uniformément sur tout compact de [tex]D(0,\frac{1}{R_1})[/tex]
L'unicité du DSE te donne l'unicité des parties régulière et principale, donc du développement de Laurent.
Si tu n'es toujours pas convaincu par cet argument, tu as la démonstration de Fred, qui est plus calculatoire, mais plus directe.

Lesmathématiquescestchic · 25-08-2022 21:43:11

Merci Fred, c'est très clair !

@Gui82
Je ne suis pas totalement convaincu... Il manquerait un argument d'unicité du couple partie principale/partie irrégulière, non ?

Dernière modification par Lesmathématiquescestchic (25-08-2022 21:44:47)

Gui82 · 25-08-2022 23:44:08

Oui, c'est justement le cas. On a le résultat suivant :
[tex]\forall f \in \mathcal{H}(A(a,R_1,R_2)), \exists \, f_1 \in \mathcal{H}(D(a,R_2)), \, f_2 \in \mathcal{H}(\{z \in \mathbb{C} / |z-a| > R_1\})[/tex] telles que [tex]f=f_1+f_2[/tex] (conséquence triviale de l'écriture en série de Laurent).
Si de plus [tex]\lim\limits_{|z| \to +\infty}f_2(z)=0[/tex], alors la décomposition est unique (ça se démontre facilement avec le théorème de Liouville).
[tex][/tex]

Lesmathématiquescestchic · 26-08-2022 00:10:45

Désolé de t'embêter encore (et merci pour toutes tes réponses !!), mais je ne vois pas comment appliquer le théorème de Liouville sachant qu'il considère des fonctions holomorphes définies sur $\mathbb{C}$ tout entier ce qui ici n'est pas le cas.

Dernière modification par Lesmathématiquescestchic (26-08-2022 00:28:36)

Gui82 · 26-08-2022 08:47:22

Si tu considères 2 décompositions [tex]f=f_1+f_2=g_1+g_2[/tex] avec [tex]f_1, g_1 \in \mathcal{H}(D(a,R_2)), \, f_2, g_2 \in \mathcal{H}(\{z \in \mathbb{C} / |z-a| > R_1\}), \lim\limits_{|z| \to +\infty}f_2(z)=0, \lim\limits_{|z| \to +\infty}g_2(z)=0[/tex],
on a [tex]f_1-g_1=g_2-f_2[/tex] dans [tex]A(a,R_1,R_2)[/tex].

On définit [tex]h[/tex] par : [tex]h(z)=\begin{cases} f_1(z)-g_1(z), & \text{si } |z-a|<R_2 \\ g_2(z)-f_2(z), & \text{si } |z-a|>R_1 \end{cases}[/tex]

[tex]h[/tex] est une fonction entière qui vérifie [tex]\lim\limits_{|z| \to +\infty}h(z)=0[/tex]. Elle est donc bornée et d'après le théorème de Liouville [tex]h=0[/tex], donc [tex](f_1, f_2)=(g_1, g_2)[/tex]

Lesmathématiquescestchic · 28-08-2022 21:41:29

Merci !!!

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