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Eyer

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Eyer

Salut à tous,

J'ai besoin de qlq qui peut m'aider à connaître si ça est vrai ou faux,
Par exemple, si on a une fonction f(x) tel que |f(x)I <= M et une autre fonction g(x) tel que |g(x)| <= ε pour tout ε>0 .

Est ce qu'on peut poser M' = ε+ M , et dire que |f(x)+g(x)|<=M' ?
Et merci beaucoup.

Eyer

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Re : Eyer

Et enfin dire qu'elle majorée ?

Lesmathématiquescestchic

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Re : Eyer

Bonjour,

Fais gaffe quand tu poses tes variables : quand on pose une fonction, on pose f (ou g), et pas f(x) qui est un nombre (la valeur prise par la fonction en x). C'est également bien de préciser le domaine. Par exemple f de R dans R ce qui a l'air d'être le cas.
Attention aux quantificateurs également : si |f(x)|<ε pour tout ε>0, alors f(x)=0.

Je vais quand même essayer de répondre :
Soit x dans R, s'il EXISTE un ε tel que, |g(x)|<ε, et que, |f(x)|<M, alors on a bien pour tout x, |g(x)+f(x)|<|g(x)|+|f(x)|<M+ε=M'. Si ton ε fonctionne pour tout x dans R, alors f+g est bien majorée (et même bornée).
La propriété qu'on a utilisé ici est l'inégalité triangulaire : |a+b|<|a|+|b| pour tous réels a et b.

Si tu veux démontrer l'inégalité triangulaire, il faut faire des disjonction de cas en traitant a>0 et b>0, a<0 et b>0 etc. Sinon, ce site propose une preuve : https://share.miple.co/content/6IggazU5m0tIG

Bon courage

Lesmathématiquescestchic

Dernière modification par Lesmathématiquescestchic (16-08-2022 19:20:28)

Eyer

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Re : Eyer

Bonjour, merci merci beaucoup pour tes informations.
Mais si on prend par exemple. |f(x)I <ε pour tout  epsilon  strictement positif et pour tout x dans R ,est ce qu'on peut dire que:
Puisque |f |est inférieure à pour tout ε>0 , alors , il en existe un réel strictement positif tel que |f(x)I <M ?
Un grand merci pour vous.

Lesmathématiquescestchic

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Re : Eyer

Fais vraiment attention à comment tu quantifies : tu dis que $|f(x)<\epsilon$ pour tout $\epsilon>0$ et pour tout $x \in \mathbb R$ ça veut dire que $f$ est nulle !
Si on se place à un $x$ fixé, tu es en train de dire que $|f(x)|$ est plus petit que tout réel strictement positif, donc $|f(x)|$ c'est zéro (il s'agit du seul réel positif à être strictement plus petit que tous les autres). Donc tel que tu poses la question, tous les $M$ strictement positifs fonctionne.

Bref, tout ça pour dire que ce n'est pas très clair : essaye de réfléchir précisément à ce que tu cherches à demander et à le reformuler.

Dernière modification par Lesmathématiquescestchic (16-08-2022 23:20:47)

Eyer

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Re : Eyer

https://drive.google.com/file/d/1e0pGeb … p=drivesdk

C'est pour celà que j'ai posé cette question.
Merci beaucoup.