Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Tout d'abord, E est un espace de Banach, et l'espace produit [tex]E\times E[/tex] est muni de la norme [tex]||(x,y)||=\sup(||x||,||y||)[/tex].
Je suis d'accord avec tout ton premier paragraphe, mais j'ai dû mal à l'écrire.
Il suffit de considérer l'application [tex]\varphi : B(0,1) \to B(0,r), z\to \frac{rz}{||z||}[/tex]

Supposons donc que [tex]f : E\times E \to R[/tex] soit bilinéaire et telle qu'il existe [tex]M>0, \forall (x,y)\in B(0,1), |f(x,y)|\le M[/tex].
Là l'idée est donc de considérer par exemple [tex]x'=\frac{x}{r||x||}[/tex] et [tex]y'=\frac{y}{r||y||}[/tex] pour tout [tex](x,y)\in E\times E[/tex] avec [tex]x,y neq 0[/tex].
Alors [tex]\sup(||x'||,||y'||)\le 1[/tex], et donc [tex]|f(\frac{x}{r||x||},\frac{y}{r||y||})|\le M[/tex].
Puis par bilinéarité, et homogénéité de la norme, il vient que [tex]|f(x,y)|\le Mr^2||x||\times||y||[/tex], et donc [tex]f[/tex] est bornée.

Qu'en penses-tu ?

Bonjour birdgslam.
Effectivement, il n'y a pas de F et R est l'ensemble des nombres réels.

J'ai modifié l'énoncé.

Bonjour,

Je me permets de revenir sur la résolution de l'exercice suivant.
Montrer que [tex]X=\{(x,y,xy^2)\in R^3, (x,y)\in R^2\}[/tex] est une 2-sous-variété [tex]C^{\infty}[/tex] de [tex]R^3[/tex].

Pour cela, je souhaitais utiliser une définition par paramétrage définition par paramétrage.
Ainsi, je dois montrer qu'il existe un voisinage [tex]V_0[/tex] de [tex]0[/tex] dans [tex]R^2[/tex], un voisinage [tex]V_u[/tex] de [tex]u[/tex] dans [tex]R^3[/tex] et une application [tex]\phi : V_0 \to V_u\cap X[/tex] bijective de classe [tex]C^{\infty}[/tex] telle que [tex]D\phi_0[/tex] est injective.

Je pose donc [tex]\phi : (x,y)\in R^2 \to (x,y,xy^2)\in R^3[/tex].

Alors [tex]\phi[/tex] est clairement [tex]C^{\infty}[/tex], et on montre que [tex]\phi[/tex] est bijective sur tout voisinage [tex]V_0[/tex] de 0 dans [tex]R^2[/tex].

La matrice jacobienne (la matrice [tex]D[/tex] de l'application linéaire [tex]D\phi_{(x,y)}\in L(R^2,R^3)[/tex])

[tex]D=Jac D\phi_{(x,y)}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ y^2&2xy \end{pmatrix}[/tex]

Je peux également écrire que pour tout [tex](x,y)\in R^2[/tex], [tex](h,k)\in R^2, D\phi_{(x,y)}.(h,k)=\begin{pmatrix}
1 \\[3mm]
0 \\[3mm]
y^2 \\
\end{pmatrix}.h+\begin{pmatrix}
0 \\[3mm]
1 \\[3mm]
2xy \\
\end{pmatrix}.k[/tex]

ll est alors clair que [tex]D\phi_{(0,0)}[/tex] est injective.

Mais du coup Fred, et désolé de revenir aussi tard sur cet exercice, je ne comprends pas pourquoi dans tout ce raisonnement, je n'ai finalement considéré que le point [tex](0,0,0)[/tex] de [tex]X[/tex] ?

Merci d'avance !

Bonjour Michel, et merci de ta réponse.

Soit [tex]\phi : U_0\subset R^k \to X[/tex] une paramétrisation de [tex]X[/tex] au voisinage de [tex]x[/tex] telle que [tex]\phi(0)=x[/tex].

Soit [tex]U[/tex] un voisinage ouvert de [tex]x[/tex] dans [tex]X[/tex].

Alors [tex]\phi^{-1}(U)[/tex] est un voisinage ouvert de [tex]0[/tex] et [tex]\phi_{|\phi^{-1}(U)} : \phi^{-1}(U)\to U[/tex] est une paramétrisation de locale de [tex]U[/tex] au voisinage de [tex]x[/tex], autrement dit on peut paramétrer [tex]U[/tex] par l'unité.

Est-ce correct ?

Merci

Bonjour à vous deux.

Alors, j'ai ceci :

Le sous-espace vectoriel [tex]TxX := (D\phi)_0(R^k)[/tex] image de l'application linéaire [tex](D\phi)_0 : R^k\to R^N[/tex] est dit l'espace tangent à [tex]X[/tex] en [tex]x[/tex].

Puis, on définit [tex]f_{*x} : T_xX\to T_yY[/tex] où [tex]y=f(x)[/tex] qui soit la meilleure approximation linéaire de [tex]f[/tex] autour de [tex]x[/tex].

Plus précisément, [tex]f : X\to Y[/tex] une fonction [tex]C^1[/tex] entre deux variétés, on pose [tex]\phi : U\to X[/tex] et [tex]\psi : V\to Y[/tex], des paramétrisations respectivement de [tex]X[/tex] en [tex]x[/tex] et de [tex]Y[/tex] en [tex]y=f(x)[/tex], avec [tex]U\subset R^k[/tex] et [tex]V\subset R^l[/tex], [tex]\phi(0)=x[/tex] et [tex]\psi(0)=y[/tex].
On obtient alors un diagramme commutatif, et on pose [tex]h=\psi^{-1}ofo\phi[/tex]

Puis, en notant [tex](D\phi)_0 : R^k\to T_x X[/tex] et [tex](D\psi)_0 : R^l\to T_yY[/tex], on a alors : [tex]f{*x}=(D\psi)_0o(Dh)_0o(D\phi)_0^{-1}[/tex].

Je viens de remarque qu'il est affirmé que [tex]T_0U=R^k[/tex], en paramétrant [tex]U[/tex] par l'identité [tex]U\to U[/tex].

Je sens que je vais avoir pas mal de questions avant d'acquérir des automatismes sur ces notions ^^

Merci Fred ^^

Je continue Fred.
Le but de l'exo est d'étudier la compacité de [tex]G[/tex] dans[tex] (C([0;1]),||.||_{\infty})[/tex], tout ça dans le contexte du théorème d'Ascoli.

Bon, [tex]G[/tex] est équicontinue.
Je souhaite maintenant montrer que G est bornée, c'est-à-dire que [tex]\exists M\in ]0;+\infty[, \forall f_n \in G, sup_{f_n \in G}||f_n||_{\infty}\le M[/tex].

Cela revient donc à chercher [tex]\sup_{f_n \in G} sup_{x\in [0;1]} |f_n(x)|[/tex], et pour cela je peux continuer l'étude de fonction amorcée précédemment avec le calcul de la dérivée.

Si je réussis à trouver ce [tex]M[/tex], alors par le théorème d'Ascoli, G sera relativement compact dans [tex]C([0;1])[/tex].

Est-ce que ce que je raconte est correct ?

Aussi, on voit que [tex]f_n\to 0[/tex] lorsque [tex]n\to \infty[/tex], mais que la fonction identiquement nulle n'est pas un élément de [tex]G[/tex], et donc [tex]G[/tex] n'est pas compact dans [tex]C([0;1])[/tex].

Merci à vous deux, j'ai tout compris.

Ca aurait quand eu le mérite de figurer dans mon cours, car c'est loin d'être évident...

Par contre bridgslam, je ne comprends pas l'utilité de la mesure extérieure, à quoi elle sert concrètement...
Le but de la question est en fait de montrer que si [tex]\mu(D)\neq 0[/tex], alors [tex]f[/tex] n'est pas intégrable au sens de Riemann.

Le fait que [tex]\mu^*(D)\neq 0[/tex] implique qu'il existe un [tex]w>0[/tex] tel que pour un certain [tex]k_0[/tex], [tex]\mu^*(A_{k_0})>w[/tex].

Bon, maintenant, si je prends [tex]P=(a_0,...,a_n)[/tex] une partition de [tex][0,1][/tex], je peux considérer l'ensemble des intervalle [tex]]a_i,a_{i-1}[[/tex] tel que [tex]]a_i,a_{i-1}[\cap A_k \neq \emptyset[/tex] et essayer de montrer que la différence des sommes de Darboux de [tex]f[/tex] est plus grande qu'un truc.

Par contre, je ne vois pas ce que viens faire la mesure extérieure là-dedans...

Merci pour vos indications.