Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 28-01-2022 15:06:01
- Thgues
- Membre
- Inscription : 02-07-2021
- Messages : 127
Preuve Proposition groupe abélien
Bonjour tout le monde,
Je m'intéresse à la propriété (*) suivante :
Soit [tex]G[/tex] un groupe abélien d'ordre [tex]N[/tex] et [tex]n\ge 1[/tex] tel que [tex]x^n=e[/tex] pour tout [tex]x\in G[/tex]. Alors [tex]N[/tex] divise une puissance de [tex]n[/tex].
Pour la démonstration, on utilise la proposition (**) suivante :
Soit [tex]G[/tex] un groupe d'ordre [tex]n[/tex].
i) Soit [tex]a\in G[/tex], un élément d'ordre [tex]n[/tex]. Alors [tex]a^m=1[/tex] si et seulement [tex]n|m[/tex].
ii) Soit [tex]G=gr(a)[/tex] un groupe cyclique. Alors [tex]a^k[/tex] est un générateur de [tex]G[/tex] si et seulement si [tex]pgcd(k,n)=1[/tex].
Preuve de la propriété (*).
On va faire une démonstration par récurrence sur [tex]N\ge 1[/tex]. Si [tex]N=1[/tex], le résultat est évident. On suppose donc que [tex]N\ge 2[/tex].
- Si pour tout [tex]a\neq e[/tex], [tex]G=gr(a)[/tex], alors la propriété (*) assure que [tex]G[/tex] est cyclique, que [tex]N[/tex] est premier et que [tex]N|n[/tex].
Bon, j'ai déjà plusieurs questions.
Puisque [tex]G=gr(a)[/tex] et que [tex]G[/tex] est fini, n'est-ce pas évident que [tex]G[/tex] est cyclique ? Pourquoi faire appel à la propriété (*) ?
Ensuite, d'après la propriété (*), on sait qu'avec ces hypothèses, on a que [tex]n|N[/tex] et que [tex]pgcd(N,n)=1[/tex].
Pourquoi cela implique-t-il que [tex]N[/tex] est premier ?
Merci beaucoup pour vos indications.
Hors ligne
#2 28-01-2022 16:52:21
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Preuve Proposition groupe abélien
Bonjour,
Oui, si $G=gr(a)$ et $G$ est fini, alors $G$ est cyclique.
$N$ est premier parce que, si $a$ est un générateur de $G$ (en particulier, $N$ est le plus petit entier $k$ tel que $a^k=e$), et si $N$ n'est pas premier, alors il existe $1<d<N$ tel que $d|N$. Alors $x=a^{N/d}$ n'est plus un générateur de $G$, $x\neq e$, ce qui contredit que $G=gr(a)$ pour tout $a\in G$, $a\neq e$.
F.
Hors ligne
#3 28-01-2022 17:04:23
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Preuve Proposition groupe abélien
bonsoir,
Si tout élément a non neutre engendre G , G est effectivement cyclique puisque fini avec un générateur, et il n'a pas d'autre sous-groupe que e et lui-même ( sinon un élément x distinct de e d'un tel s-g H hypothétique, engendrerait un sous-groupe de H (eh oui, aussi) distinct de {e} et égal à G, donc H = G, contradiction.
N n'admet donc aucun diviseur d non trivial ( à isomorphisme près dans Z/NZ d diviseur de N engendrerait un sg d'ordre N/d < N donc un sg distinct de {e} et de G.
N est donc premier si N >1.
A.
Hors ligne
#5 29-01-2022 19:42:35
- Thgues
- Membre
- Inscription : 02-07-2021
- Messages : 127
Re : Preuve Proposition groupe abélien
Je continue la démonstration du cours.
On exclut le cas pour lequel pour tout [tex]a\neq e[/tex], gr(a)=G.
Il existe donc un élément [tex]a\in G[/tex] d'ordre q avec 1<q<N. Alors q divise n. Soit H=gr(a). Puisque G est abélien, alors H est normal dans G. On peut donc considérer le groupe quotient G/H.
Soit alors M=card(G/H).
Pourquoi a-t-on M<N ? J'ai l'impression que c'est évident...
Je sais que G/H=gH, l'ensemble des classes d'équivalence définies par la relation d'équivalence [tex]xRy[/tex] ssi [tex]xy^{-1}\in H[/tex]. Ca c'est pour moi, ça me fait réviser ^^
Bref, pourquoi M<N, pourquoi le strictement ?
Hors ligne
Pages : 1