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Thgues

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Equicontinuité

Bonjour,

Je considère l'ensemble [tex]G=\{f_n : f_n(x)=(1+(x-n)^2)^{-1},n\ge 1\}[/tex], avec [tex]x\in [0;1][/tex].

On cherche à montrer que [tex]G[/tex] est équicontinue sur [tex][0;1][/tex].

Dans mon cours, j'ai la chose suivante :

[tex]|f_n'(x)|=\frac{2(x-n)}{(1+(x-n)^2)^2}\le \frac{2n}{(1+(1-n)^2)^2}[/tex].

Puis directement : alors [tex](f_n)[/tex] est uniformément bornée.

Cela va trop vite pour moi.

La dérivée étant uniformément bornée, cela implique-t-il qu'il en est de même avec [tex]f_n[/tex] ?

Est-ce que cela découle du fait que si la dérivée est bornée, alors la fonction est lipschitzienne, et donc uniformément continue, et donc ? Je ne vois pas/plus.

Aussi, n'aurait-on pas pu dire directement que pour tout [tex]n\ge 1[/tex], les [tex]f_n[/tex] sont continues sur [tex][0;1][/tex], donc bornée (toute fonction continue sur un compact est bornée) ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements !

Fred

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Re : Equicontinuité

Bonjour,

  Je pense que tu n'as pas bien compris ce que voulait dire "équicontinu".
Pour qu'une fonction $f$ soit continue, pour chaque $x$, pour chaque $\varepsilon>0$, tu dois pouvoir choisir $\delta$ (qui dépend de $f$) de sorte que si $|x-y|<\delta$, alors $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Un ensemble $\mathcal F$ de fonctions est équicontinu si, pour chaque $x$ et chaque $\varepsilon>0$, tu peux choisir le même $\delta$ pour toutes les fonctions de $\mathcal F$ :
$$\forall x, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0,\ \forall x\in\mathcal F, \forall y, |x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon.$$

Si tu n'as qu'une seule fonction, le choix de $\delta$ en fonction de $\varepsilon$ est facile si la fonction est $M$-lipschitzienne : il suffit de choisir $\delta=\varepsilon/M$. C'est pourquoi si tu as un ensemble de fonctions qui sont toutes $M$-lipschitziennes (avec le même $M$ qui convient pour toutes les fonctions), alors ces fonctions sont équicontinues.

F.

Thgues

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Re : Equicontinuité

Bonjour Fred, et merci !
Effectivement ici toutes les fonctions sont [tex]M(n)[/tex]-lipchitzienne, avec [tex]M(n)=\frac{2n}{(1+(1-n)^2)^2}[/tex] et on peut trouver un maximum global de [tex]M(n)[/tex].

Dernière modification par Thgues (12-02-2022 12:35:42)

Thgues

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Re : Equicontinuité

Je continue Fred.
Le but de l'exo est d'étudier la compacité de [tex]G[/tex] dans[tex] (C([0;1]),||.||_{\infty})[/tex], tout ça dans le contexte du théorème d'Ascoli.

Bon, [tex]G[/tex] est équicontinue.
Je souhaite maintenant montrer que G est bornée, c'est-à-dire que [tex]\exists M\in ]0;+\infty[, \forall f_n \in G, sup_{f_n \in G}||f_n||_{\infty}\le M[/tex].

Cela revient donc à chercher [tex]\sup_{f_n \in G} sup_{x\in [0;1]} |f_n(x)|[/tex], et pour cela je peux continuer l'étude de fonction amorcée précédemment avec le calcul de la dérivée.

Si je réussis à trouver ce [tex]M[/tex], alors par le théorème d'Ascoli, G sera relativement compact dans [tex]C([0;1])[/tex].

Est-ce que ce que je raconte est correct ?

Aussi, on voit que [tex]f_n\to 0[/tex] lorsque [tex]n\to \infty[/tex], mais que la fonction identiquement nulle n'est pas un élément de [tex]G[/tex], et donc [tex]G[/tex] n'est pas compact dans [tex]C([0;1])[/tex].

Dernière modification par Thgues (12-02-2022 12:59:36)

Fred

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Re : Equicontinuité

Oui tu as raison. Ce n'est pas très compliqué je crois de vérifier que les fonctions sont uniformément bornées. Tu peux les représenter...