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#1 07-02-2022 12:10:23
- Thgues
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isomorphimes entre groupes symétriques
Salut tout le monde,
J'essaye de montrer que S_m est isomorphe à un sous-groupe de S_n, pour m<n, où S_n est le groupe symétrique d'ordre n.
Mon idée est de considérer un morphisme de groupe injectif, dont l'image sera donc un sous-groupe de S_n.
Comment est-ce que je peux exhiber cette isomorphisme ?
Merci pour vos indications.
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#3 09-02-2022 16:36:30
- Thgues
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
Bonjour et merci Alain,
En suivant ton conseil, j'ai construit l'application [tex]f : S_m \to S_n, \sigma\to \tilde{\sigma}[/tex], avec [tex]\tilde{\sigma}(i)=\sigma(i)[/tex] si [tex]i\le m[/tex] et [tex]\tilde{\sigma}(i)=i[/tex] si [tex]m+1\le i\le n[/tex].
Je montre que [tex]f[/tex] est bien définie et que c'est un morphisme de groupe injectif, et je conclus par le premier théorème d'isomorphisme.
Encore merci !
Dernière modification par Thgues (09-02-2022 16:36:45)
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#5 15-02-2022 11:18:28
- Michel Coste
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
Une question plus vache : si un sous-groupe de [tex]S_n[/tex] est isomorphe à [tex]S_{n-1}[/tex], est-ce forcément le sous-groupe des permutations laissant fixe un élément ?
Dernière modification par Michel Coste (15-02-2022 11:19:46)
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#6 15-02-2022 17:05:32
- bridgslam
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
Bonsoir,
Vache effectivement, connaissez-vous la réponse ? En tous cas espèce de réciproque très intéressante.
Ce sera plus intéressant de prendre le "taureau" par les cornes si c'est vrai ( gros gros doute).
Les sous-groupes des permutations ayant un point fixe donné sont maximaux dans $S_n$, mais cela ne semble pas servir à grand chose.
A.
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#7 16-02-2022 10:13:35
- Zebulor
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
Bonjour,
je me permets cette petite incursion comme spectateur :
@bridgslam
Vache effectivement, connaissez-vous la réponse ?
Michel Coste ? pour sûr il la connaît !
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#8 16-02-2022 10:57:58
- Michel Coste
- Membre Expert
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
La réponse peut se trouver dans le livre d'algèbre de Daniel Perrin. On y voit que le cas [tex]S_6[/tex] est très spécial, avec un sous-groupe isomorphe à [tex]S_5[/tex] transitif, qui ne fixe donc aucun élément.
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#9 16-02-2022 11:07:19
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
Bonjour,
Ah merci, j'avais aussi pensé à un contre-exemple plus fort: carrément une permutation de dérangement dans un tel H, qui clôturait de manière plus énergique (si je puis dire) la question.
J'avais regardé dans $S_4$ sans rien de manifeste. Je ne suis pas allé plus loin.
Merci pour ce joli résultat négatif.
Alain
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#10 16-02-2022 11:44:17
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
.... mais j'imagine qu'il doit exister d'autres $S_n$ ( et H) où des contre-exemples moins forts existent.
Après tout il suffit d'avoir la forme plus faible $\forall i \in {1,...,n} \exists h \in H : h(i) \ne i$
Alain
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#11 16-02-2022 14:57:55
- Michel Coste
- Membre Expert
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
Jene comprends pas bien ce que tu écris : contre-exemple à quoi ?
Un sous-groupe de [tex]S_n[/tex] isomorphe à [tex]S_{n-1}[/tex] et qui n'est pas le sous-groupe des permutations fixant un élément donné ?
Il n'y a que pour [tex]n=6[/tex] qu'une telle bête existe.
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#12 16-02-2022 19:51:28
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
Bonsoir,
Pour moi c'est un contre-exemple au fait que la propriété aurait pu être vrai, sait-on jamais : Pour tout $n \ge 2$ , tout sous-groupe de $S_n$ isomorphe à $S_{n-1}$ fixe un élément.
OK si c'est le seul parmi les $S_n$ mais ça ne saute pas aux yeux si on n'a pas étudier de près son exo...
Je comprends selon tes informations que si n n'est pas égal à 6, ça marche quand-même.
Alain
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#13 17-02-2022 09:16:36
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : isomorphimes entre groupes symétriques
Bonjour,
je vois, c'est le seul cas (n = 6) où $ Int( S_n) \ne Aut( S_n)$.
Il faudra que je replonge en théorie des groupes qui réserve toujours plein de belles surprises.
Alain
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