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Bonjour Bivalve,

Un produit infini peut avoir plusieurs valeurs différentes, même en essayant par exemple de faire en sorte que les inverses se compensent.

En effet, par exemple, pour [tex]K = \mathbb{R}[/tex], et en distinguant les réels non nuls selon leur valeur absolue, on aurait envie d'écrire

\begin{array}{ccl}
\underset{x \in \mathbb{R}^*}{\Pi}x &= &\left(\underset{x \in ]-1,0[\cup]0,1[}{\Pi}x\right) \times \underset{|x| > 1}{\Pi}x \\
&=& \underset{|x| > 1}{\Pi}\dfrac{1}{x} \times \underset{|x| > 1}{\Pi}x\\
&=& \underset{|x| > 1}{\Pi}\left(\dfrac{1}{x}\times x\right) \\
&=& \underset{|x| > 1}{\Pi}1\\
&=& 1
\end{array}

En revanche, si on distingue selon le signe, cela donne

\begin{array}{ccl}
\underset{x \in \mathbb{R}^*}{\Pi}x &= &\left(\underset{x \in \mathbb{R}_-^*}{\Pi}x\right) \times \underset{\mathbb{R}_+^*}{\Pi}x \\
&=& \left(\underset{x \in \mathbb{R}_-^*}{\Pi}x\right)  \times +\infty ??\\
\end{array}

On a envie de dire que ça a une valeur infinie (donc déjà ça part mal, ça ne fait pas [tex]1[/tex] ; et en plus on sort de [tex]\mathbb{R}[/tex]) ; après je te laisse essayer de donner un signe à [tex]\left(\underset{x \in \mathbb{R}_-^*}{\Pi}x\right)[/tex], mais on tombe toujours sur le même problème : il n'y a pas de définition canonique (= naturelle, que tout le monde puisse admettre) d'un tel produit, parce que ça donne des valeurs différentes (ou bien pas de valeur) alors que la multiplication est censée être commutative.

On ne définit les produits infinis (du moins au niveau prépa) que dans le cas de la topologie, quand on est capable de les définir comme limite d'un produit fini ; mais là encore ça ne donne des résultats que dans le cas de produits dénombrables ; et cela ne marche pas pour un produit indexé sur [tex]\mathbb{R}[/tex].

N'hésite pas à m'écrire !
Guillaume