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walterwhitecoocking

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DL : division de DL et valeur de n pour o(x^n)

Bonjour,

Pour le DL à l'ordre 4 en 0 de ln(sin(x) / x), pour la partie sin(x)/x, le DL de sin(x) doit-être fait à l'ordre 5 pour conserver la précision de degré 4, ça je comprend, seulement dans la correction (exercice 6 question 1 de la fiche d'exo des DL sur bibmath https://www.bibmath.net/ressources/inde … type=fexo) après avoir fait le quotient de sin(x)/x, on obtient un o(x⁴) et pas un o(x⁵).
On peut remplacer le o(x⁵) par un o(x⁴) car on ne veut pas une précision de degrés 5 et donc ça ne sert à rien de garder le o(x⁵)? Ou c'est une autre raison où comme dans les limites on peut ""factoriser"" les o(xⁿ) et donc comme on ""factorise par x"" tout le numérateur, le o(x⁵) perd un degré de précision et se transforme en o(x⁴) ? Merci d'avance.

Dernière modification par walterwhitecoocking (09-04-2023 13:30:35)

Guillaume Pierron

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Re : DL : division de DL et valeur de n pour o(x^n)

Bonjour walterwhitecoocking,
Si j'ai bien compris ta question, pas besoin de te compliquer la vie ! Oui, le développement
[tex]\dfrac{\sin(x)}{x} = x - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + o(x^5)[/tex]
est vrai, on trouve cela en observant l'imparité de la fonction sinus.
Mais ici on n'a pas besoin du fait que le reste est un [tex]o(x^5)[/tex] puisqu'on ne veut qu'un développement à l'ordre [tex]4[/tex].
Ici on peut remplacer sans vergogne le [tex]o(x^5)[/tex] par un [tex]o(x^4)[/tex] car [tex]\dfrac{x^5}{x^4} = x \underset{x \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0[/tex].

Dis-moi si tu penses que je n'ai pas compris ce que tu voulais dire !
Guillaume

Michel Coste

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Re : DL : division de DL et valeur de n pour o(x^n)

Bonsoir,
Hum, le DL en 0 de [tex]\dfrac{\sin(x)}{x}[/tex] ne commence pas par [tex]x[/tex] ...

Michel Coste

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Re : DL : division de DL et valeur de n pour o(x^n)

walteretc., est-ce que ta question est "pourquoi un [tex]o(x^5)[/tex] divisé par [tex]x[/tex] est un [tex]o(x^4)[/tex] ?
Si oui, la réponse est immédiate quand on se souvient qu'un [tex]o(x^5)[/tex], c'est du type [tex]x^5\epsilon(x)[/tex] avec [tex]\lim_{x\to 0}\epsilon(x)=0[/tex].

walterwhitecoocking

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Re : DL : division de DL et valeur de n pour o(x^n)

Bonjour Guillaume,

Le problème étant que pour le DL de sin(x)/x, on développe le sinus à l'ordre 5 car on va perdre un degré de précision à cause de la division par x, ma question étant donc pour qu'on obtienne le o(x⁴) car on veut un DL de ln(sin(x)/x) (ici que l'on à pas encore car le numérateur possède un o(x⁵), on peut justifier de remplacer le o(x⁵) par un o(x⁴) car on souhaite avoir un degré de précision de 4 donc pas besoin de s'embêter avec un o(x⁵) on le remplace juste par un o(x⁴) ou alors la justification de remplacer le o(x⁵) par un o(x⁴) est non pas un changement que l'on se permet car on ne veut pas d'une aussi grande précision mais plus une justification "algébrique" qui s'explique car on factorise l'ensemble de notre DL (de sin(x)/x) par x et que donc on va factoriser aussi notre o(x⁵) qui va donc perdre un degré de précision car on simplifie par x notre fraction. C'est dans qu'elle justification qu'on se permet de retomber sur un o(x⁴).

walterwhitecoocking

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Re : DL : division de DL et valeur de n pour o(x^n)

Bonjour Michel,

Oui c'est ça que je ne comprenais pas car je pensais que l'on pouvait utiliser cette propriété seulement dans le cadre des limites mais du coup oui on écris juste le o(x⁵) comme x⁵*ϵ(x) et donc on factorise l'ensemble de la fraction par x et on simplifie. Merci beaucoup.