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Grabriel98

Invité

Algèbre sur les groupes

Bonjour à tous
J'ai un problème pour cette question
Montrer qu'un groupe G est simple si et seulement si |G|=p avec un nombre premier

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 184

Re : Algèbre sur les groupes

Bonjour,

La question est imprécise : un groupe simple n'est pas forcément d'ordre premier. Je pense qu'il est question ici de groupes cycliques. Dans ce cas, tu peux considérer directement un groupe de la forme $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ et déterminer le lien qu'il existe entre les diviseurs $> 0$ de $n$ et les sous-groupes de $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$. Indice : cela repose sur la forme des sous-groupes de $\mathbb{Z}$.

E.

Guillaume Pierron

Membre

Inscription : 02-02-2020

Messages : 4

Re : Algèbre sur les groupes

Bonjour Gabriel98,

Ce n'est pas vrai en général !

Le premier groupe simple non-commutatif est le groupe [tex]A_5[/tex] qui est le groupe alterné à [tex]5[/tex] éléments, est de cardinal [tex]60[/tex] (qui n'est pas un nombre premier).
Je te recommande cette page wikipédia qui parle des groupes simples.

En revanche c'est vrai pour les groupes commutatifs : les seuls groupes commutatifs et simples sont les groupes [tex]G[/tex] vérifiant [tex]|G| = p[/tex] avec [tex]p[/tex] un nombre premier.
Et je suppose que c'est ce qu'on te demande de montrer !

Pour le montrer je te suggère de regarder un sous-groupe engendré par un élément de ton groupe.

N'hésite pas à m'écrire,
Guillaume

Dernière modification par yoshi (08-04-2023 19:20:21)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Algèbre sur les groupes

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