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Cr0c0M3chn

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Probabilités

Bonjour,
Je suis confronté a cet exercice et je ne sais pas comment l’aborder. Auriez vous des éléments de réponses ou des pistes. Soit Xn suite de variables aléatoires indépendantes, intégrables. On suppose que la série de terme général E[|Xn|] converge. Montrer que si B correspond a l’événement {la serie de terme général |Xn| converge} alors P(B) = 1.
Je suis parvenu à démonter que presque surement la suite tendait vers 0 en utilisant Markov mais je ne parviens pas au résultat attendu.
Merci

Fred

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Re : Probabilités

Bonjour,

  Voici une piste : pour $\geq 1$ et $N\geq 1$, on introduit
$$B_N(p)=\{\omega: |X_1(\omega)|+\cdots+|X_N(\omega)|\leq p\}.$$
On peut remarquer que
$$B=\bigcup_p \bigcap_N B_N(p).$$

On peut alors trouver une minoration de $P(A_N(p))$ grâce à l'inégalité de Markov.
Puis, en remarquant que $B_{N+1}(p)\subset B_N(p)$, on trouve une minoration de $P(\bigcap_N B_N(p))$.
Enfin, en remarquant que $\bigcap_N B_N(p)\subset \bigcap_N B_N(p+1)$, on doit pouvoir conclure que $P(B)=1$.

F.

Cr0c0M3chn

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Re : Probabilités

Parfait.
Merci beaucoup !
Exercice sympa je regrette de ne pas avoir vu la manière évidente d’utiliser l’hypothese grace a Markov appliquée aux sommes partielles.
Bonne journée.

Fred

Administrateur

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Re : Probabilités

Ce qui m'étonne un peu c'est qu'on n'utilise pas du tout l'hypothèse d'indépendance des variables aléatoires mais il y a peut-être une suite à l'exercice ?

Cr0c0M3chn

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Re : Probabilités

Cet énoncé est extrait d’un exercice d’oral de Polytechnique donc il devait sûrement y avoir une suite mais je ne la connais malheureusement pas.