Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Marcomiarintsoa

Membre

Inscription : 25-10-2021

Messages : 12

Espaces vectoriels

Bonjour ,petit exercice
Soit $E$ un $K$-espaces vectoriel, $u_1,u_2,...,u_m,w$ des vecteurs de $E$.On suppose que le système de vecteurs ($u_1,u_2,...,u_m$ ) est libre et que le système ($u_1,u_2,...,u_m,w$) est lié.Montrer que $w$ s'exprime linéairement à l'aide des vecteurs  $u_1,u_2,...,u_m,$ et que cette décomposition est unique .

Merci

Dernière modification par Marcomiarintsoa (22-03-2022 23:22:18)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Espaces vectoriels

Bonjour,

Nous n'allons pas faire l'exercice à ta place... Qu'as-tu essayé ?

Quasiment tout l'exercice se fait en écrivant les définitions de libre/liée.

Un façon de commencer : que signifie que la famille $\{ u_1,...,u_n,w\}$ est liée ?

Roro.

Dernière modification par Roro (23-03-2022 07:26:23)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Espaces vectoriels

Bonjour,

Cela se fait immédiatement depuis les définitions, certainement le plus simple.

Sinon, en connaissant un peu de notions sur la dimension, si on avait $ w \notin Vect(u_i )$ , les n+1 vecteurs $u_i $ et $ w$ engendreraient un espace vectoriel de dimension exactement n+1 puisqu'il contient strictement  $Vect(u_i )$, qui est de dimension n.

Donc cette nouvelle famille est libre, contrairement à l'hypothèse.

A.

Dernière modification par bridgslam (23-03-2022 11:16:56)