stéréographie et lampe japonaise

bridgslam · 19-02-2022 14:55:21

Bonjour,

Voilà de quoi ravir Bernard et les amateurs de géométrie...
Si on imagine une petite ampoule qui darde ses rayons à travers une ouverture circulaire découpée dans un lustre sphèrique, la zone éclairée du plan est aussi un cercle.

Alain

bridgslam a écrit :

https://www.geogebra.org/3d/shd4rfz3

Michel Coste · 19-02-2022 16:19:32

Bonjour,

Oui, ce sont les propriétés de l'inversion. Ici celle de centre le point E (où se trouve l'ampoule) par rapport à la sphère de centre E qui passe par le point de contact entre la sphère rouge et le plan gris (c'est l'origine sur le dessin GeoGebra.
L'inversion transforme sphère-ou-plan en sphère-ou-plan.

Bernard-maths · 19-02-2022 17:09:35

Bonjour !

Oui, l'inversion de centre E et de puissance 16, transforme la sphère en un plan tangent (en O), et réciproquement.

Du coup toute courbe sur la sphère sera transformée en une courbe sur le plan, et réciproquement.

Ce qui est ici intéressant, c'est de constater qu'un cercle de la sphère a pour image un cercle du plan ; et réciproquement ?

Je pense que cela est peut-être du au fait que l'inversion va transformer une sphère en une autre sphère ... ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (19-02-2022 21:05:08)

Michel Coste · 19-02-2022 18:25:33

Un cercle sur une sphère ou sur un plan est l'intersection de cette sphère ou plan avec une autre sphère ...

Bernard-maths · 19-02-2022 20:11:22

Bonsoir à tous !

Je voulais préciser : considérons la sphère passant par le cercle (sur la sphère) et de centre sur la sphère. Celle de petit rayon, car il y en a une 2ème de centre opposé. Le cercle de la sphère est l'intersection de cette sphère et de la sphère de sommet E. Par l'inversion l'image de le sphère de sommet E est le plan, et l'image de la petite sphère est une sphère qui coupe le plan selon le cercle du plan ...

Il faudrait quelqu'un de courageux pour écrire les équations, et donc vérifier si ça marche bien comme ça ...

Moi, je verrai un peu plus tard !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (19-02-2022 20:12:34)

Michel Coste · 19-02-2022 22:39:42

Il n'y a pas besoin de spécifier le centre de la sphère sécante ou alors, tant qu'à faire, autant prendre comme centre de la sphère sécante le sommet du cône qui tangente la sphère de départ (la sphère rouge sur le dessin GeoGebra) le long du cercle. Alors, comme l'inversion conserve les angles, elle transfomera la sphère sécante en la sphère orthogonale au plan gris image de la sphère rouge, dont l'équateur est l'image du cercle par l'inversion.
Je ne sais pas si ma description est très claire ...

Bernard-maths · 20-02-2022 10:03:50

Bonjour à tous !

Oui, je comprends ...

Par contre je n'ai jamais eu à enseigner l'inversion. Mais je l'avais vue en Math Elem !

Je vais regarder sur quelques figures ce que ça donne sur la sphère de départ ...

Je pense à un lustre avec la sphère et des motifs dessus ; qu'est-ce ça donnerait sur le sol ou les murs ... ?

Bonne journée, :-)) Bernard-aths

bridgslam · 20-02-2022 15:42:47

Bonjour,

J'imagine en gros que si l'image par l'inversion d'un plan complet ( dont l'intersection avec la sphère correspond au cercle sur la-dite sphère) est justement une sphère, l' image du cercle sera pile à l'intersection du plan tangent en O à la sphère dont il est l'image, et de cette autre sphère, donc bien un cercle dans ce plan.
Je me base plus ou moins avec une analogie avec l'inversion plane où on a des propriétés analogues (ou supposées telles ?).

En somme une intersection sphère-plan est envoyée sur une intersection plan-sphère...

Je pense aussi que comme l'inversion conserve les angles, un troisième point P quelconque d'un petit cercle de diamètre (M,N) sur la sphère, sera envoyé sur un point P' du plan formant un angle droit avec M' et N' , images de M et N par l'inversion. Donc au final on doit retrouver un cercle de diamètre M'N'

A vérifier, je ne connais pas trop ces transformations, ce qui ne ne veut pas dire qu'elles ne m'intéressent pas, au contraire.

Apparemment ce type de transformations involutives joue vis à vis des sphères un rôle comparable à celui des réflexions pour les plans.

Alain

Dernière modification par bridgslam (20-02-2022 15:48:15)

Michel Coste · 20-02-2022 15:49:20

bridgslam a écrit :

Je pense aussi que comme l'inversion conserve les angles, un troisième point P quelconque d'un petit cercle de diamètre (M,N) sur la sphère, sera envoyé sur un point P' du plan formant un angle droit avec M' et N' , images de M et N par l'inversion. Donc au final on doit retrouver un cercle de diamètre M'N'

Non, ce raisonnement est faux car la préservation des angles par une inversion est locale, pas globale. Autre façon de dire ça : les droites PM et PN ont bien des images par l'inversion qui sont orthogonales en P', mais ces images ne sont pas les droites P'M' et P'N' !

bridgslam · 20-02-2022 16:17:04

Bonjour,

Ok je commence mieux à comprendre, à la limite il peut s'agir de deux arcs de cercles dont les tangentes en P' sont orthogonales...
Merci.
Par-contre pour les intersections de plan-sphère et vice-versa ça marche comme ça ?

Alain

Michel Coste · 20-02-2022 16:17:28

Regardons ce qui se passe pour l'inversion par rapport à la sphère unité. Elle envoie [tex]x[/tex] sur [tex]\dfrac{x}{\Vert x\Vert^2}[/tex].
La sphère de centre [tex]a[/tex] et de rayon [tex]R[/tex] a pour équation [tex]\Vert x\Vert^2-2a\cdot x+\Vert a\Vert^2-R^2=0[/tex] et son image par l'inversion a pour équation [tex]1-2a\cdot x+ \Vert x\Vert^2(\Vert a\Vert^2-R^2)=0[/tex].
Si [tex]\Vert a\Vert=R[/tex] (c.-à-d. si la sphère passe par l'origine), c'est bien l'équation d'un plan.
Sinon, c'est l'équation de la sphère de centre [tex]\dfrac{a}{\Vert a\Vert^2-R^2}[/tex] et de rayon [tex]\dfrac{R}{\left| \Vert a\Vert^2-R^2\right|}[/tex].

Dernière modification par Michel Coste (20-02-2022 16:23:59)

Michel Coste · 20-02-2022 18:48:04

bridgslam a écrit :

Par-contre pour les intersections de plan-sphère et vice-versa ça marche comme ça ?

Comme quoi ?

bridgslam · 20-02-2022 19:18:43

Bonsoir,

Comme ceci : un cercle C' dans le plan P tangent en O qui est l'image d'un cercle C sur la sphère S l' est-il comme intersection du plan P image de la sphère S avec la sphère-image du plan coupant la sphère S en C ?

Merci
Alain

Bernard-maths · 20-02-2022 21:00:59

Bonsoir !

Comme je l'ai dit, voici une image montrant qu'un carré est l'image d'un trapèze curviligne de la sphère ... forme d'anamorphose !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (20-02-2022 21:02:07)

Michel Coste · 20-02-2022 23:05:54

bridgslam a écrit :

Comme ceci : un cercle C' dans le plan P tangent en O qui est l'image d'un cercle C sur la sphère S l' est-il comme intersection du plan P image de la sphère S avec la sphère-image du plan coupant la sphère S en C ?

Ça oui, bien sûr !

Michel Coste · 20-02-2022 23:08:15

@Bernard : et tous les côtés du trapèze curviligne sont portés par des cercles passant par le centre de projectin.

Bernard-maths · 21-02-2022 07:34:24

Bonjour à tous !

Précision détaillée pour Alain : comme on a tracé les 4 demi-droites issues de E et passant par les 4 sommets du carré (ic, mais tout autre polygone aussi), on voit que les 2 demi-droite"devant" forment un plan contenant le segment [IJ], et le bout de trapèze curviligne du haut. Or dans l'inversion de pole E et de puissance 16; toute droite ne passant pas par le pole est transformée en un cercle passant (lui) par le pole E.

Ce qui veut dire que le bout de trapèze est un arc de cercle ! Idem pour les 3 autres ...

Ce procédé peut servir pour de l'anamorphose, permettant d'obtenir sur une sphère une image déformée de la "réalité", et réciproquement ...

Bernard-maths

bridgslam · 21-02-2022 08:22:37

Bonjour,

OK merci à tous deux, c'est très intéressant.

Alain

bridgslam · 21-02-2022 08:40:30

Bonjour,

Les 4 tangentes en 0 aux 4 cercles portant les segments curvilignes donnent les directions des 4 segments rectilignes dans le plan, si je comprends bien.

On obtient alors ( sauf erreur) un rectangle si les tangentes coïncident par groupe de 2 ( donnant deux paires de côtés parallèles ), et sont orthogonales entre elles (sinon on obtient juste un parallélogramme ).

A.

Dernière modification par bridgslam (21-02-2022 08:59:13)

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