Rappelez-vous, les rosaces ...

Bernard-maths · 17-12-2021 15:35:48

Bonjour à tous !

J'ai cru que c'était difficile ! Mais en fait non, faut trouver le truc !

Voici un dessin d'une beauté inouïe, dont je ne citerai pas l'auteur ...

KLroIswSinA_Rosace-et-carr%C3%A9s-2021-12-17.png

On y voit une rosace traditionnelle bleue, et des carrés rouges entre les branches.

Tout se passe dans un cercle de centre O, les carrés, comme celui du haut, ont un sommet sur le cercle, au milieu de l'arc joignant 2 sommets consécutifs de la rosace, 2 sommets sur les arcs de la rosace, et le 4ème vers le centre O.

1°) Il se trouve que pour le carré du haut, les 2 côtés inférieurs sont tangents en K et L aux arcs de la rosace : à prouver !

2°) Pour les fous de calculs, que je n'ai pas faits, si OA = 1, quelles sont les aires des 4 zones colorées bleue, rouge, mauve et verte ?

Bon amusement, Bernard-maths

PS : après 5 minutes de réflexion, je sais comment faire la 2°) ... donc y'a qu'à ...

Dernière modification par Bernard-maths (17-12-2021 16:00:38)

jpp · 17-12-2021 16:35:15

salut ;

Q1 : Si NS est le diamètre ( nord - sud) du grand cercle , alors NESA est le grand carré . Les points N , L & E sont alignés ; et comme E est le centre de l'arc OF . Alors le carré de sommet L est bien tangent au pétale en L . Non ?

Bernard-maths · 17-12-2021 17:09:33

Salut !

Oui voilà un bon début ! MAIS ça manque de détail ... dirait-on en classe ? :) eh eh ! Mais l'idée y'est.

Allez, la 2° ?

Zebulor · 17-12-2021 19:51:45

Bonsoir,
comme il faut bien se lancer.. :
je suppose que L est construit comme l'intersection du cercle de centre E, de rayon OA/2 et du segment [EN] ?
Je me siouviens d'un théorème : la tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon qui aboutit à ce point.
Donc [LO] perpediculaire à la tangente en L à la rosace. Et comme c'est un carré, le côté inférieur du carré rouge est bien tangente à la rosace en L.
Pour l'aire :
d un carré : $3-2\sqrt{2}$ ?
-d'une zone colorée bleue : $\dfrac {\pi}{3}-\sqrt {3}$ ? zut impossible c'est négatif..

Dernière modification par Zebulor (17-12-2021 21:30:19)

Bernard-maths · 17-12-2021 21:31:33

Bonsoir !

je suppose ... hum !? L'aire d'un carré est de l'ordre de 0.1715 ... =3 - 2√2, ouais c'est bon ! Donc pour l'aire rouge ?

Zone bleue ... ou 1/2 branche de rosace ? Et le reste ?

Dernière modification par Bernard-maths (17-12-2021 21:33:30)

Zebulor · 17-12-2021 21:40:30

Bonsoir Bernard Maths !
chouette j ai bon pour l'aire d'un carré.. pour le reste je verrai çà une autre fois.. besoin de repos.
ca me revient -
aire d'une zone colorée bleue : $\dfrac {\pi}{3}-\dfrac {\sqrt {3}}{2}$
Bonne soirée!

Dernière modification par Zebulor (17-12-2021 22:10:11)

Bernard-maths · 18-12-2021 08:07:54

Bonjour Zebulor, ...et les autres ?

Oui c'est bon pour 1 pétale ! Reste le mauve et le vert ?

Bonne suite ...

Zebulor · 18-12-2021 08:37:39

Bonjour Bernard ..
il me faut non pas 5 minutes mais... beaucoup plus de temps que toi. En attendant tu peux chercher la longueur de l'arc ... voyons .. $\hat {OL}$ ?

Bernard-maths · 18-12-2021 09:08:40

OL ? Du genre 1/8ème de cercle ? Pi/4 ...

Zebulor · 18-12-2021 09:10:04

Zut c'était trop simple .. la distance FD ? En attendant je cherche toujours..

Bernard-maths · 18-12-2021 09:13:47

Trop simple encore = côté du triangle équilatéral FDA = √3 ...

Zebulor · 18-12-2021 09:19:06

je viens de m 'en apercevoir... en attendant si j'arrive à obtenir l'aire d'une des deux zones colorées, j'ai laire de celle restante..

Bernard-maths · 18-12-2021 09:29:20

Commence par la mauve ! Dans OAKJ, J pont inférieur du carré haut ... OAKJ !!!

Dernière modification par Bernard-maths (18-12-2021 09:30:29)

Zebulor · 18-12-2021 10:21:16

..En attendant tu peux calculer la distance de l'arc $\hat FL$. je ne vois pas le point K

Bernard-maths · 18-12-2021 10:28:11

Hello !

K est le point à droite du carré haut, entre B et O

Pour FL, je pense à 1/6 - 1/8 de tour ... Pi/12 ?

Dernière modification par Bernard-maths (18-12-2021 10:29:51)

Zebulor · 18-12-2021 10:34:28

oui... alors.. aire du polygône formé par les sommets des cubes tangents aux surfaces bleues? ahah. :)

Zebulor · 18-12-2021 11:05:40

Aire d'une zone colorée en mauve : $2\sqrt {2}-2-\dfrac {\pi}{4}$, et d'une zone colorée en vert : $\dfrac {\pi}{24}-\dfrac {1}{2}+\dfrac {\sqrt{3}}{4}$

Dernière modification par Zebulor (18-12-2021 14:20:38)

Bernard-maths · 18-12-2021 11:33:09

Ouais ! ? Ma moitié vient de rentrer, et comme elle ne fait pas les choses à demie, je suis trop sollicité !!!

Donc je reprnds plus tard ... ;=)

Ca y est, je suis libéré !

Donc soit ILJK le carré du haut, L à gauche, J en bas et K à droite. (IK) est donc inclinée à 45° sur la verticale, et passe donc par A. De même ((IL) passe par E. On peut tracer un grand carré AIE + (pt du bas) ...AK est donc aussi un rayon de l'arc gauche du pétale OB, alors (KJ) est perpendiculaire à ce rayon en K, (KJ) est tangente à l'arc OKB. ET les carrés sont tangents aux pétales aux points de contact. Voilà pour la question 1°)

Après, IK = IA - KA, soit IK = √2 - 1, aire (carré) = (√2 - 1)^2 = 3 - 2√2. Aire rouge = 6 (3 - 2√2) !

Le pétale OB se divise en 2 ... 1/2 pétale = 1/6ème cercle(A,1) - triangle équi AOB = Pi/6 3- √3 / 4 ; pétale = Pi/3 - √3 / 2. Aire bleue = 2 Pi - 3√3 !

L'aire mauve du haut se partage en 2 ... partie droite = KJO. Or KJO est isocèle en J, car (JK)et (JO) sont tangentes à l'arc OKB ... OKB peut se couper en 2 en traçant [AJ], qui fait un angle de 22.5° avec (OA). (AJ) va couper l'arc OKB au milieu de OK, disons en K' !

Il y a tout un gros morceau de la fin qui a sauté !!!??? Je suis marqué connecté, mais en fait pas pris en compte ! Pourquoi ?

Aire mauve OJK' = OJA - 1/16ème cercle(A,1) = (√2 - 1)/2 - Pi / 16. Aire mauve = 12(√2 - 1) - 1.5 Pi !

J'ai oublié de justifier l'ordonnée de J ! Dans le carré IKJL :
IK = (√2 - 1), sa diagonale IJ = (√2 - 1)*√2 = 2 - √2 ; alors OJ = 1 - (2 - √2) = √2 - 1 = IK !

Ensuite on fait la somme des 3 : 6 - 7 Pi/6 -√3/2 ...
qu'on enlève au disque entier Pi - (6 - 7 Pi/6 -√3/2) = Aire verte = 13 Pi/6 + √3/2 - 6 !

Et voilà, sauf erreur ...

Les calculettes donnent 1,0294372515228594143797353094836 + 1,0870328844729545963429477420414 + 0,25817376809245072792629961559712 = 0,7669487496897932384626433832795 ???

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-12-2021 14:42:41)

Zebulor · 18-12-2021 12:32:56

j ai -au moins - deux réponses bonnes sur 4. Ça va j ai mon bac. tu as compté les 6 zones colorées, moi une seule. En multipliant par 6 je trouve pareil.

$\dfrac {\pi}{4}-3+3*\dfrac {\sqrt{3}}{2}$ pour le total des aires vertes ?

Dernière modification par Zebulor (18-12-2021 16:25:33)

Bernard-maths · 18-12-2021 14:07:19

Hello !

Pense que tu peux t'améliorer ... et avoir un jour par hasard un diplômath ? ;=))

Dernière modification par Bernard-maths (18-12-2021 14:19:28)

Zebulor · 18-12-2021 14:14:31

:-) merci pour cet encouragement en géométrie.

Les calculs sont une chose, mais au delà c'est surtout ton approche géométrique y conduisant qui peut être intéressante.

Dernière modification par Zebulor (18-12-2021 18:23:33)

Wiwaxia · 23-12-2021 07:23:55

Bonjour,

Quelles sont donc ces calculettes capables de livrer les résultats numériques avec 30 chiffres ?

B a écrit :

Les calculettes donnent 1,0294372515228594143797353094836 + 1,0870328844729545963429477420414 + 0,25817376809245072792629961559712 = 0,7669487496897932384626433832795 ???

Je ne suis pas curieux, mais j'aime bien savoir ...

Bernard-maths · 23-12-2021 08:55:05

Bonjour W !

Il s'agit seulement de la calculatrice scientifique de Windows, dans la liste des programmes, "fenêtre" en bas à gauche, clic gauche ...

Je l'utilise très souvent !

A plus, Bernard-maths

Wiwaxia · 18-01-2022 07:19:09

Bonjour,

Je me suis demandé quelle devait être la plus courte liste des distances à exprimer dans un programme reconstituant la figure étudiée. La présence d'un axe d'ordre (6) appelle une notation appropriée.
LArlg47g8zm_Rosace-D%C3%A9tails.png

1) le rayon extérieur de la rosace: OA₀ = OB₀ = R_max

2) l'arête et la diagonale de chacun des carrés: A₀B₁ = B₀A₂ = R_max*Rac(2)

B₀D₀ = B₀E₀ = C₀D₀ = C₀E₀ = B₀A₂ - A₂E₀ = R_max*(Rac(2) - 1)

B₀C₀ = B₀D₀*Rac(2) = R_max*(2 - Rac(2))

d'où l'on peut déduire la distance minimale séparant l'un des sommets du centre de la rosace:

OC₀ = OB₀ - B₀C₀ = R_max*(Rac(2) - 1) = B₀D₀

3) la distance intermédiaire séparant deux des sommets d'un carré du même point (O):

H₀B₀ = H₀C₀ = H₀D₀= H₀E₀ = (1/2)*B₀C0 = R_max * (1 - Rac(1/2))

OH₀ = OC₀ + C₀H₀ = R_max*(Rac(2) - Rac(1/2))

OE₀² = OH₀² + H₀E₀² = Rmax²*(5/2 - 2 + 3/2 - Rac(2)) = R_max²*(2 - Rac(2))
d'où: OE₀ = R_max*Rac(2 - Rac(2)) .

La figure s'obtient alors en trois étapes:

Dernière modification par Wiwaxia (18-01-2022 07:44:20)

Bernard-maths · 18-01-2022 11:20:38

Bonjour Wiwaxia !

Voilà un beau programme de tracé !

J'ai cherché un moment à prolonger cette figure dans l'espace, mais il y a plusieurs façons ! Laquelle choisir, et comment placer des cubes ???

Voilà de quoi cogiter encore ...

Cordialement, Bernard-maths

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 17-12-2021 15:35:48

Rappelez-vous, les rosaces ...

#2 17-12-2021 16:35:15

Re : Rappelez-vous, les rosaces ...

#3 17-12-2021 17:09:33

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#4 17-12-2021 19:51:45

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#5 17-12-2021 21:31:33

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#6 17-12-2021 21:40:30

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#7 18-12-2021 08:07:54

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#8 18-12-2021 08:37:39

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#9 18-12-2021 09:08:40

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#10 18-12-2021 09:10:04

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#11 18-12-2021 09:13:47

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#12 18-12-2021 09:19:06

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#13 18-12-2021 09:29:20

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#14 18-12-2021 10:21:16

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#15 18-12-2021 10:28:11

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#16 18-12-2021 10:34:28

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#17 18-12-2021 11:05:40

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#18 18-12-2021 11:33:09

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#19 18-12-2021 12:32:56

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#20 18-12-2021 14:07:19

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#23 23-12-2021 08:55:05

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#24 18-01-2022 07:19:09

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#25 18-01-2022 11:20:38

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