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Wiwaxia · 19-01-2022 12:27:56

Bonjour,

En y réfléchissant ce matin, je me suis dit qu'il y a un os: le quadrilatère (BjDjCjEj) n'est pas un carré, mais (au mieux) un losange ou sinon un cerf-volant.

Je ne peux poursuivre pour l'instant.

Wiwaxia · 18-01-2022 20:17:57

Bonsoir Bernard-maths,

Je rentre très rapidement les données relatives à une rosace d'ordre (N):
Rmax = rayon du cercle délimitant la figure;
les deux arcs circulaires constituant un fuseau admettent pour centres deux points (Mj, Nj) situés sur la médiatrice du segment (OAj); Rcen désigne leur rayon;
OAj = OBj = Rmax

vecteurs position:
OAj = Rmax(Cos(tj), Sin(tj)) avec tj = j.2Pi/N
OBj = Rmax( Cos(tj + dt)), Sin(tj + dt)) avec dt = Pi/N

Rcen = OMj = ONj = AjMj = AjNj

OIj = Rmax/2 = OMj*Sin(Pi/Nros) d'où: Rcen = Rmax/2Sin(Pi/Nros)

vecteurs position:
OMj = Rcen(Cos(tj - (Pi/2 - Pi/N))), Sin(tj - (Pi/2 - Pi/N)))
= Rcen(Sin(tj + Pi/N), -Cos(Tj + Pi/N))
ONj = Rcen(Cos(tj + (Pi/2 - Pi/N))), Sin(tj + (Pi/2 - Pi/N)))
= Rcen(-Sin(tj - Pi/N), Cos(tj - Pi/N))

arête du carré: a = BjDj = BjEj = CjDj = CjEj = BiMj - MjDj = BjMj - MjAj = Dbm - Rcen ;

la distance Dbm = BjMj est calculée à partir des coordonnées cartésiennes; le résultat est indépendant du rang (j) ; (*)

BjCj = a√2

OCj = OBj - BjCj = Rmax - a√2 (*)

Le tracé du second dessin laisse à désirer; il illustre cependant les relations que l'on doit utiliser.

Cinq listes de (N) vecteurs position interviennent: OAj, OBj, OMj, ONj, OCj ;
il faut aussi connaître la distance constante ODj = OEj .
Calculs à vérifier.

Cordialement, W.

(*) PS: Je m'aperçois que l'on doit avoir par construction géométrique: OCj = CjDj = a ,
ce qui entraîne: Rmax = a + a√2 et a = Rmax/(√2 + 1) = Rmax(√2 - 1)
et par ailleurs: Dbm = Rcen + a = Rmax(1/2Sin(Pi/Nros) + √2 - 1) .

Wiwaxia · 18-01-2022 16:57:28

Bernard-maths a écrit :

... Je cherchais à faire "tourner" la rosace, mais les faisceaux se recouvrent un peu.
Alors j'ai pris une rosace à 8 branches, et je n'ai pas fini ...

Alors autant prendre directement une rosace d'ordre (n) ... Bon courage !

Bernard-maths · 18-01-2022 12:02:56

Hello !

Oui, on peut tenter les polyèdres. Je cherchais à faire "tourner" la rosace, mais les faisceaux se recouvrent un peu.
Alors j'ai pris une rosace à 8 branches, et je n'ai pas fini ...

Bernard-maths

Wiwaxia · 18-01-2022 11:41:10

Bernard-maths a écrit :

... J'ai cherché un moment à prolonger cette figure dans l'espace, mais il y a plusieurs façons ! Laquelle choisir, et comment placer des cubes ??? ...

Aux sommets
a) d'un tétraèdre,
b) d'un octaèdre ou d'un cube (c'est banal),
c) d'un icosaèdre (... et là, un peu plus compliqué).
L'examen des polyèdres tronqués pourrait constituer un bon point de départ.

Bernard-maths · 18-01-2022 11:20:38

Bonjour Wiwaxia !

Voilà un beau programme de tracé !

J'ai cherché un moment à prolonger cette figure dans l'espace, mais il y a plusieurs façons ! Laquelle choisir, et comment placer des cubes ???

Voilà de quoi cogiter encore ...

Cordialement, Bernard-maths

Wiwaxia · 18-01-2022 07:19:09

Bonjour,

Je me suis demandé quelle devait être la plus courte liste des distances à exprimer dans un programme reconstituant la figure étudiée. La présence d'un axe d'ordre (6) appelle une notation appropriée.
LArlg47g8zm_Rosace-D%C3%A9tails.png

1) le rayon extérieur de la rosace: OA₀ = OB₀ = R_max

2) l'arête et la diagonale de chacun des carrés: A₀B₁ = B₀A₂ = R_max*Rac(2)

B₀D₀ = B₀E₀ = C₀D₀ = C₀E₀ = B₀A₂ - A₂E₀ = R_max*(Rac(2) - 1)

B₀C₀ = B₀D₀*Rac(2) = R_max*(2 - Rac(2))

d'où l'on peut déduire la distance minimale séparant l'un des sommets du centre de la rosace:

OC₀ = OB₀ - B₀C₀ = R_max*(Rac(2) - 1) = B₀D₀

3) la distance intermédiaire séparant deux des sommets d'un carré du même point (O):

H₀B₀ = H₀C₀ = H₀D₀= H₀E₀ = (1/2)*B₀C0 = R_max * (1 - Rac(1/2))

OH₀ = OC₀ + C₀H₀ = R_max*(Rac(2) - Rac(1/2))

OE₀² = OH₀² + H₀E₀² = Rmax²*(5/2 - 2 + 3/2 - Rac(2)) = R_max²*(2 - Rac(2))
d'où: OE₀ = R_max*Rac(2 - Rac(2)) .

La figure s'obtient alors en trois étapes:

Bernard-maths · 23-12-2021 08:55:05

Bonjour W !

Il s'agit seulement de la calculatrice scientifique de Windows, dans la liste des programmes, "fenêtre" en bas à gauche, clic gauche ...

Je l'utilise très souvent !

A plus, Bernard-maths

Wiwaxia · 23-12-2021 07:23:55

Bonjour,

Quelles sont donc ces calculettes capables de livrer les résultats numériques avec 30 chiffres ?

B a écrit :

Les calculettes donnent 1,0294372515228594143797353094836 + 1,0870328844729545963429477420414 + 0,25817376809245072792629961559712 = 0,7669487496897932384626433832795 ???

Je ne suis pas curieux, mais j'aime bien savoir ...

Zebulor · 18-12-2021 14:14:31

:-) merci pour cet encouragement en géométrie.

Les calculs sont une chose, mais au delà c'est surtout ton approche géométrique y conduisant qui peut être intéressante.

Bernard-maths · 18-12-2021 14:07:19

Hello !

Pense que tu peux t'améliorer ... et avoir un jour par hasard un diplômath ? ;=))

Zebulor · 18-12-2021 12:32:56

j ai -au moins - deux réponses bonnes sur 4. Ça va j ai mon bac. tu as compté les 6 zones colorées, moi une seule. En multipliant par 6 je trouve pareil.

$\dfrac {\pi}{4}-3+3*\dfrac {\sqrt{3}}{2}$ pour le total des aires vertes ?

Bernard-maths · 18-12-2021 11:33:09

Ouais ! ? Ma moitié vient de rentrer, et comme elle ne fait pas les choses à demie, je suis trop sollicité !!!

Donc je reprnds plus tard ... ;=)

Ca y est, je suis libéré !

Donc soit ILJK le carré du haut, L à gauche, J en bas et K à droite. (IK) est donc inclinée à 45° sur la verticale, et passe donc par A. De même ((IL) passe par E. On peut tracer un grand carré AIE + (pt du bas) ...AK est donc aussi un rayon de l'arc gauche du pétale OB, alors (KJ) est perpendiculaire à ce rayon en K, (KJ) est tangente à l'arc OKB. ET les carrés sont tangents aux pétales aux points de contact. Voilà pour la question 1°)

Après, IK = IA - KA, soit IK = √2 - 1, aire (carré) = (√2 - 1)^2 = 3 - 2√2. Aire rouge = 6 (3 - 2√2) !

Le pétale OB se divise en 2 ... 1/2 pétale = 1/6ème cercle(A,1) - triangle équi AOB = Pi/6 3- √3 / 4 ; pétale = Pi/3 - √3 / 2. Aire bleue = 2 Pi - 3√3 !

L'aire mauve du haut se partage en 2 ... partie droite = KJO. Or KJO est isocèle en J, car (JK)et (JO) sont tangentes à l'arc OKB ... OKB peut se couper en 2 en traçant [AJ], qui fait un angle de 22.5° avec (OA). (AJ) va couper l'arc OKB au milieu de OK, disons en K' !

Il y a tout un gros morceau de la fin qui a sauté !!!??? Je suis marqué connecté, mais en fait pas pris en compte ! Pourquoi ?

Aire mauve OJK' = OJA - 1/16ème cercle(A,1) = (√2 - 1)/2 - Pi / 16. Aire mauve = 12(√2 - 1) - 1.5 Pi !

J'ai oublié de justifier l'ordonnée de J ! Dans le carré IKJL :
IK = (√2 - 1), sa diagonale IJ = (√2 - 1)*√2 = 2 - √2 ; alors OJ = 1 - (2 - √2) = √2 - 1 = IK !

Ensuite on fait la somme des 3 : 6 - 7 Pi/6 -√3/2 ...
qu'on enlève au disque entier Pi - (6 - 7 Pi/6 -√3/2) = Aire verte = 13 Pi/6 + √3/2 - 6 !

Et voilà, sauf erreur ...

Les calculettes donnent 1,0294372515228594143797353094836 + 1,0870328844729545963429477420414 + 0,25817376809245072792629961559712 = 0,7669487496897932384626433832795 ???

Bernard-maths

Zebulor · 18-12-2021 11:05:40

Aire d'une zone colorée en mauve : $2\sqrt {2}-2-\dfrac {\pi}{4}$, et d'une zone colorée en vert : $\dfrac {\pi}{24}-\dfrac {1}{2}+\dfrac {\sqrt{3}}{4}$

Zebulor · 18-12-2021 10:34:28

oui... alors.. aire du polygône formé par les sommets des cubes tangents aux surfaces bleues? ahah. :)

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