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#1 07-12-2021 11:54:11
- Pharès
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Integrale
Bonjour tout le monde. Je vous en pris. Aidez moi pour cet exo qui me casse la tête. On demande la nature de l'intégrale suivante, et si ça converge, de calculer sa valeurs.
f(x)= [1-exp(ax)]×(cos(bx))/x
Sur l'intervalle ]0;+oo[
Concernant la nature, j'ai essayé de casser l'integrale de f sur ]0,1] et [1;+inf[ ; étudié la nature sur chacun de ses intervalles. Sur le 1er intervalle, j'ai trouvé un équivalent à f au voisinage de 0 puis sur le second intervalle, il m'est un peu difficile de prouver la convergence, alors j'ai essayé de faire une intégration par partie d'abord avant de chercher à majorer par une fonction intégrable et conclure. Je ne sais pas si c'est une bonne méthode mais j'attends votre apport sur cela.
Par ailleurs, le calcul de sa valeurs m'est jusqu'à présent difficile. Je n'y arrive pas. Par résidu il faut prendre ? Si oui, je veux plus en savoir sur le contour à considérer.
Merci beaucoup à vous et excusez moi pour les fautes. Impatient de votre aide.
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#2 07-12-2021 12:21:27
- Zebulor
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Re : Integrale
Hello,
Merci beaucoup à vous et excusez moi pour les fautes. Impatient de votre aide.
Des fautes ? où çà ?
Je suppose que tu as trouvé $-a$ comme équivalent au voisinage de 0..ce qui permet de conclure sur la convergence sur le segment unité.
Pour la convergence en l'infini, tu peux déjà distinguer suivant le signe de $a$. Avec une étude particulière pour $a$ nul. ...Ce qui permet déjà aussi de situer les cas de divergence grossière.
Quant à sa valeur, encore faut il qu'elle converge ..
Dernière modification par Zebulor (08-12-2021 07:22:27)
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#3 08-12-2021 11:38:32
- Pharès
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Re : Integrale
Hello
Merci pour la réponse Mr Zébulor.
J'avais oublié de dire que a>0, ce qui rend un peu la tâche facile. Alors, concernant la convergence, oui j'ai fait comme vous le dites au voisinage de 0 et en +oo, j'ai aussi assayé de montrer que ça converge. Maintenant, c'est le calcul de sa valeur qui me cause problème. Si vous avez peut être une manière pour le faire, ça réjouirait beaucoup si vous me le dites.
Grand merci
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#4 08-12-2021 14:00:39
- Zebulor
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Re : Integrale
Bonjour M. Pharès,
D'abord, sur l'intervalle [0;1] l'intégrale converge quels que soient $a$ et $b$... je ne sais pas si tu en es convaincu.
L'étude est plus délicate sur $[1;+\infty]$:
je ne suis pas d'accord avec ta condition de convergence. Tu peux le voir en examinant le comportement de $f$ en $+\infty$ lorsque $a>0$. Et tu verras qu'une condition nécessaire de convergence de ton intégrale n'est pas remplie pour ce cas là.
Pour l étude de la convergence je distinguerais 3 cas : a>0,a=0 et a<0. Et pour chaque cas j'examinerais d'éventuels sous cas ..
Quant au calcul en cas de convergence, c'est une autre affaire...
Dernière modification par Zebulor (08-12-2021 15:47:53)
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#5 08-12-2021 16:46:22
- Pharès
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Re : Integrale
Oui bonsoir M. Zebulor.
Merci pour l'apport.
Je suis convaincu de la convergence de l'intégrale sur l'intervalle [0,1]
Par ailleurs, pouvez vous m'aider sur le comportement de la fonction en +inf lorsque a > 0 ?? Je veux bien voir pourquoi ça divergerait enfaite.
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#6 08-12-2021 18:36:03
- Zebulor
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Re : Integrale
re,
sur le segment [0;1] la fonction est continue -parce que prolongeable par continuité en 0- donc bornée.
Pour le cas a>0 : parce que lorsque sur $[1;+\infty[$, ax>0 et $\lim_{x \to +\infty} exp(ax)=+\infty$
Il vient $\lim_{x \to +\infty} \frac{1-{exp(ax)}}{x}=-\infty$
Comme le cosinus prend des valeurs entre -1 et 1, $f$ ne tend pas vers 0 en l'infini.. quelle que soit la valeur de $b$..
Dernière modification par Zebulor (08-12-2021 18:43:40)
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#8 08-12-2021 21:16:26
- Zebulor
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Re : Integrale
rebonsoir M. Phares,
a>0 : divergence grossière de l'intégrale.
Sinon il y a un cas simple à étudier : a=0...faut pas l'oublier celui là. Et pour le cas a<0, y a t il convergence ? Je distinguerais les cas $b$ nul et $b$ non nul..
Dernière modification par Zebulor (08-12-2021 21:18:07)
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#9 08-12-2021 21:25:59
- Roro
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Re : Integrale
Bonsoir,
Je n'ai fait que parcourir le sujet mais ceci n'est pas complètement clair :
a>0 : divergence grossière de l'intégrale.
Pour moi, ce n'est pas parce qu'une fonction $f$ ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ que l'intégrale $\int_1^{+\infty} f$ diverge.
Autrement dit, il existe des fonctions $f$ qui ne tendent pas vers $0$ et dont l'intégrale converge.
Il faut un peu plus que ça ici...
Roro.
Dernière modification par Roro (08-12-2021 21:27:54)
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#10 08-12-2021 21:41:43
- Zebulor
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Re : Integrale
re,
Pour moi, ce n'est pas parce qu'une fonction $f$ ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ que l'intégrale $\int_1^{+\infty} f$ diverge.
Autrement dit, il existe des fonctions $f$ qui ne tendent pas vers $0$ et dont l'intégrale converge.
Zut ce point là m'a échappé.. un contre exemple me serait formateur..
Dernière modification par Zebulor (09-12-2021 15:49:26)
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#12 10-12-2021 13:12:08
- Zebulor
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Re : Integrale
Rebonjour Pharès,
ok je vais regarder la suite du sujet. En attendant :
Autrement dit, il existe des fonctions $f$ qui ne tendent pas vers $0$ et dont l'intégrale converge.
Il faut un peu plus que ça ici...
Roro.
Je pense - mais j'ai des doutes - que le "plus que çà" de Roro pour le cas $a>0$ est $f$ bornée sur tout compact de $[1;+\infty[$
Sinon tu as du conclure pour le cas a<0 et $b$ nul : La fonction à intégrer sur $[1;+\infty[$, positive et de signe constant est équivalente en l'infini à la fonction inverse. Par th de comparaison : divergence de l intégrale.
_ a=0, b quelconque est trivial..
_ $a<0$ et $b$ non nul :
J'ai l'impression qu'on peut en effet prouver la convergence absolue en intégrant par parties - sachant que les fonctions en jeu sont $C^1$ - sur un intervalle [1;A], puis en faisant tendre A vers l'infini.
_ $a>0$ et $b=0$ : $f$ est de signe constant (négatif) : par théorème de comparaison je trouve que l'intégrale diverge.
_ $a>0$ et $b$ non nul : je pense que l'intégrale diverge mais ne parviens pas a le montrer formellement.
Et pour le calcul en lui même de $\int_0^{+\infty}\,f(x)dx$, ($a<0$ et $b$ non nul) lorsqu'il y a convergence tu peux peut être chercher du coté du théorème des dérivées des intégrales à paramètre.
J'ai trouvé quelque chose :
je pose $G(b)=\int_0^{+\infty}\,\dfrac {1-e^{ax}}{x}cos(bx)dx$ et considère que $a$ est fixé.
Ensuite je pose $g(b,x)=\dfrac {1-e^{ax}}{x}cos(bx)$ et je calcule $\dfrac {\partial g(x,b)}{\partial b}$ montrant que cette dernière est bornée sur $\mathbb R^{+}$ par une fonction intégrable sur $\mathbb R^{+}$..
De là G est $C^{1}$ et sa dérivée est l'intégrale de la dérivée partielle précédente. Reste à intégrer pour retrouver G.
Reste le cas à traiter de la constante qui apparaît. Et c'est peut être un peu technique..
En espérant ne pas avoir écrit trop de conneries..
Dernière modification par Zebulor (12-12-2021 12:02:22)
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#13 10-12-2021 17:13:53
- Roro
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Re : Integrale
Bonsoir,
re,
Roro a écrit :il existe des fonctions $f$ qui ne tendent pas vers $0$ et dont l'intégrale converge.
Zut ce point là m'a échappé.. un contre exemple me serait formateur..
Pense à la fonction $f$, affine par morceaux, telle que pour tout entier $n>1$ on ait :
$f(n)=0$
$f(1+\frac{1}{n}) = n$
$f(1+\frac{2}{n}) = 0$
Roro.
Dernière modification par Roro (10-12-2021 17:15:01)
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#18 11-12-2021 17:49:28
- Roro
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Re : Integrale
Bonsoir,
Dans le cas a>0 et en ne regardant que ce qu'il se passe en $+\infty$, on doit pouvoir dire que l'intégrale est minorée par (avec des constantes partout que je prends égales à $1$) :
$$J = \int_1^\infty \mathrm e^{x} \cos (x) \mathrm dx.$$
Cette dernière diverge car on peut facilement calculer $\displaystyle J_M = \int_1^M \mathrm e^{x} \cos (x) \mathrm dx$ (intégrer deux fois par parties), puis obtenir que $J_M$ n'a pas de limite lorsque $M$ tend vers $+\infty$.
Roro.
Dernière modification par Roro (11-12-2021 20:42:46)
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#19 11-12-2021 22:42:34
- Zebulor
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Re : Integrale
Bonsoir,
je n aurais pas pensé à une minoration..
Sauf erreur pour le calcul de l'intégrale de Pharès, je trouve dans les cas de convergence (y compris lorsque a=0) : $\dfrac {1}{2}ln(\dfrac {a^2+b^2}{b^2})$.
Dernière modification par Zebulor (11-12-2021 22:45:31)
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#21 12-12-2021 11:22:59
- Pharès
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Re : Integrale
Bonjour.
M. Zébulor.
Ce sera un peu très bien de nous montrée comment vous avez procédé pour aboutir à un tel résultat inh.
Juste les grande ligne de votre calcul de l'intégrale ( dans le cas de convergence bien sûr) pour aboutir à cela. Merci
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#22 12-12-2021 12:29:54
- Zebulor
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Re : Integrale
re,
je ne détaille pas les calculs mais dans les grandes lignes :
_La dérivée de $g$ est majorée par une fonction qui ne dépend plus de $b$ et est intégrable sur $\mathbb R^{+}$
Il vient : G est $C^{1}$, et sa dérivée est l'intégrale de la dérivée de $g(b,x)$
_Dans le calcul de la dérivée de G, apparaît ceci : $\int_0^{+\infty}\,exp(ax)sin(bx),dx$ qu'on peut calculer car sin(bx) est une partie imaginaire d'un nombre complexe.
_j'obtiens G' et intègre la relation obtenue , ce qui fait apparaître une constante qui se trouve être nulle car lorsque a vaut 0, on connaît la valeur de l'intégrale de ton post #1.
Sans cette connaissance de la valeur de l'intégrale en un point, il faudrait encore faire quelques raisonnements supplémentaires pour trouver cette constante. Ou alors voir ce qui se passe quand $b$ tend vers l'infini ?
Il se trouve que la limite de ton intégrale quand $b$ tend vers l'infini est nulle...
Dernière modification par Zebulor (14-12-2021 16:08:17)
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#23 12-12-2021 14:25:32
- Pharès
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Re : Integrale
Bonsoir encore.
Je pense que vous avez mal dérivé le G. Si non, enfaite, la dérivé partielle de g par rapport à "b" donne une fonction rationnelle avec "x" au dénominateur. Il se pourrait que ce dénominateur vous a échappé.
Mr @Zébulor
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#24 12-12-2021 14:36:52
- Zebulor
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Re : Integrale
re,
on est tellement habitué à dériver par rapport à $x$ ... néanmoins pour moi il n'y a pas de dénominateur dans cette dérivée partielle par rapport à $b$. Dans cette opération $x$ est une constante, tout comme le facteur $e^{ax}-1$.
Dernière modification par Zebulor (20-12-2021 21:02:59)
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