Forum de mathématiques - Bibm@th.net

rebonsoir,
@Pharès: j'ai une tite question parce que je suis curieux : c'est un devoir maison ?

re,
on est tellement habitué à dériver par rapport à $x$ ... néanmoins pour moi il n'y a pas de dénominateur dans cette dérivée partielle par rapport à $b$. Dans cette opération $x$ est une constante, tout comme le facteur $e^{ax}-1$.

re,

je ne détaille pas les calculs mais dans les grandes lignes :
_La dérivée de $g$ est majorée par une fonction qui ne dépend plus de $b$ et est intégrable sur $\mathbb R^{+}$
Il vient : G est $C^{1}$, et sa dérivée est l'intégrale de la dérivée de $g(b,x)$
_Dans le calcul de la dérivée de G, apparaît ceci : $\int_0^{+\infty}\,exp(ax)sin(bx),dx$ qu'on peut calculer car sin(bx) est une partie imaginaire d'un nombre complexe.
_j'obtiens G' et intègre la relation obtenue , ce qui fait apparaître une constante qui se trouve être nulle car lorsque a vaut 0, on connaît la valeur de l'intégrale de ton post #1.
Sans cette connaissance de la valeur de l'intégrale en un point, il faudrait encore faire quelques raisonnements supplémentaires pour trouver cette constante. Ou alors voir ce qui se passe quand $b$ tend vers l'infini ?
Il se trouve que la limite de ton intégrale quand $b$ tend vers l'infini est nulle...

C'est normal, puisque c'est sans doute faux... je regarderai peut être plus tard mais pour l'instant je n'ai pas d'idée simple !

Roro.

Bonsoir,

Dans le cas a>0 et en ne regardant que ce qu'il se passe en $+\infty$, on doit pouvoir dire que l'intégrale est minorée par (avec des constantes partout que je prends égales à $1$) :
$$J = \int_1^\infty \mathrm e^{x} \cos (x) \mathrm dx.$$

Cette dernière diverge car on peut facilement calculer $\displaystyle J_M = \int_1^M \mathrm e^{x} \cos (x) \mathrm dx$ (intégrer deux fois par parties), puis obtenir que $J_M$ n'a pas de limite lorsque $M$ tend vers $+\infty$.

Roro.

Bonsoir

Svp Mr @Zébulor.
Est-ce possible d'aller jusqu'à la seconde dérivé de g (si les conditions de celle -ci existe) ? Car je pense qu'on aura certaines une équation différentielle de second degré vérifié par G.

Bonsoir,
@Roro : merci

Rebonjour Pharès,
ok je vais regarder la suite du sujet. En attendant :

Je pense - mais j'ai des doutes - que le "plus que çà" de Roro pour le cas $a>0$ est $f$ bornée sur tout compact de $[1;+\infty[$

Sinon tu as du conclure pour le cas a<0 et $b$ nul : La fonction à intégrer sur $[1;+\infty[$, positive et de signe constant est équivalente en l'infini à la fonction inverse. Par th de comparaison : divergence de l intégrale.

_   a=0, b quelconque est trivial..

_   $a<0$ et $b$ non nul :
J'ai l'impression qu'on peut en effet prouver la convergence absolue en intégrant par parties - sachant que les fonctions en jeu sont $C^1$ - sur un intervalle [1;A], puis en faisant tendre A vers l'infini.

_   $a>0$ et $b=0$ : $f$ est de signe constant (négatif) : par théorème de comparaison je trouve que l'intégrale diverge.

_  $a>0$ et $b$ non nul : je pense que l'intégrale diverge mais ne parviens pas a le montrer formellement.

Et pour le calcul en lui même de  $\int_0^{+\infty}\,f(x)dx$, ($a<0$ et $b$ non nul) lorsqu'il y a convergence tu peux peut être chercher du coté du théorème des dérivées des intégrales à paramètre.

J'ai trouvé quelque chose :
je pose $G(b)=\int_0^{+\infty}\,\dfrac {1-e^{ax}}{x}cos(bx)dx$ et considère que $a$ est fixé.
Ensuite je pose $g(b,x)=\dfrac {1-e^{ax}}{x}cos(bx)$ et je calcule $\dfrac {\partial g(x,b)}{\partial b}$ montrant que cette dernière est bornée sur $\mathbb R^{+}$ par une fonction intégrable sur $\mathbb R^{+}$..
De là G est $C^{1}$ et sa dérivée est l'intégrale de la dérivée partielle précédente. Reste à intégrer pour retrouver G.

Reste le cas à traiter de la constante qui apparaît. Et c'est peut être un peu technique..

En espérant ne pas avoir écrit trop de conneries..