Plus court chemin - DM

Mouss · 02-12-2021 08:38:40

Bonjour,
je recherche de laide pour un DM.

Ennoncé : on a une droite d et deux points A et B du meme coté de la droite et un point M sur la droite, et on recherche où placer le Point M pour le plus court chemin pour aller de A à B en passant par M.

Il faut trouver deux facons de faire, j'ai utiliser le symétrique de A ou bien de B pour placer le point M grace à l'inégalité triangulaire mais je ne vois pas comment on pourrait faire autrement en utilisant une autre méthode.

MERCI DAVANCE !

yoshi · 02-12-2021 13:02:43

Bonjour,

Je viens juste de trouver une réponse, mais je ne sais pas encore le justifier (par cherché, mais je vais m'y mette ...)
Soit K le pied de la perpendiculaire à d passant par B.
Le quadrilatère AHKB est un trapèze rectangle (si $AH \neq BK$)
Soit I l'intersection de ses deux diagonales.
Le pied M de la perpendiculaire à d passant par I est le point cherché.
Peut-être montrer que le point M ainsi obtenu appartient à [AB'], B' étant le symétrique de B par rapport à d ?

Quant à ton histoire d'inégalité triangulaire, je ne vois pas ce que tu en fais...
Moi, ce ce que je vois est le plus court chemin de A à B' est le segment [AB'].
Puisque M intersection de [AB'] avec d est sur d (axe de symétrie), MB'= MB
donc AM' plus court chemin est tel que AB' = AM+MB' = AM+MB

@+

Mouss · 02-12-2021 14:11:52

Merci pour votre retour,
Jai construit le symetrique A' de A et comme la symetrie garde les longueurs AM=A'M. Et ensuite linegalite triangulaire dit que la longueur la plus courte cest la ligne droite donc en tracant (A'B) jai le plus court chemin et M est a lintersection avec la droite d

Bernard-maths · 02-12-2021 16:11:14

Bonjour à tous !

Il me semble que (AH) // (BK). Donc avec les sécantes(KA) et (KH), puis avec (HB) et (HK) on va trouver des rapports (de segments) égaux ... On peut poursuivre avec (AB') et (BA') ...

Bonne suite, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-12-2021 16:12:25)

Zebulor · 02-12-2021 19:11:22

Hello,
peut être une autre piste ? $AM+BM$ minimum lorsque $AM^2+BM^2$ est minimum. Les segments [AM] et [BM] sont des hypoténuses de triangles rectangles..

Paco del Rey · 02-12-2021 19:34:37

Zebulor a écrit :

$AM+BM$ minimum lorsque $AM^2+BM^2$ est minimum.

C'est sûr ?

$x + 1-x$ est minimum lorsque $x^2 + (1-x)^2$ est minimum ?

Paco.

Zebulor · 02-12-2021 21:16:33

re,
@Paco. Ce doute m'avait effleuré .. et voilà l'exemple tout trouvé.
Bonne soirée !

Mouss · 03-12-2021 09:18:03

Pourquoi si AM+MB est minimum alors AM²+MB² est minimum ? Je n'ai pas compris cette méthode

Zebulor · 03-12-2021 10:06:45

Bonjour,

Mouss a écrit :

Pourquoi si AM+MB est minimum alors AM²+MB² est minimum ? Je n'ai pas compris cette méthode

AM+MB peut être minimum sans que AM²+MB² le soit nécessairement - et réciproquement - c'est ce que Paco indique..

Dernière modification par Zebulor (04-12-2021 11:18:10)

Bernard-maths · 03-12-2021 11:03:56

Bonjour à tous !

Yoshi et Thalès sont en train de pleurer ...

H et K sont les projections de A et B sur d.

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-12-2021 09:38:50)

yoshi · 03-12-2021 14:20:50

Re,

1. Si tu veux dire que ma proposition est fausse, alors je viens de refaire le dessin via le soft de Fred, Geolabo, jamais pris en défaut depuis sa création. Explicite ta pensée s'il te plaît.
Ma construction :
je trace une droite d quelconque.
sur cette droite je place 2 points H et K quelconques
je trace les deux perpendiculaires en H et $\Delta$' en K à la droite d.
Du même côté par rapport à d, je place A quelconque sur $\Delta$ et B quelconque sur $\Delta$'
Je trace les diagonales du trapèze rectangle : elles se coupent en I.
Je place B' le symétrique de B par rapport à d.
Je trace la demi-droite [AM) : apparemment, elle passe bien par B'
Je zoome au maximum : même constat...

Et maintenant
Je déplace A sur $\Delta$ en restant du même côté de d que B, même constat, y compris avec zoom (et j'ai un écran 16/10 23" résolution 1980 x 1200).
Idem si c'est B que je déplace.
J'ai fait un test avec AHKB rectangle : la démo dans ce cas est évidente...

Vois-tu un problème avec ma construction ?
De toutes façons, je m'en vais faire tous les calculs à la main pour être fixé...

@+

Bernard-maths · 03-12-2021 17:32:38

Bonsoir yoshi !

Si j'ai dit que tu pleurais, ainsi que Thalès, c'était pour dire que Mouss ne prend pas en considération ta remarque, et les conseils que je donne pour utiliser Thalès !!!

Les cogitations sur AM+MB minimum me semblent faire perdre du temps ... bien que j'ai écrit la fonction pour AM+MB, mais la dérivée donne des racines au dénominateur et ça devient complexe ... donc poubelle !

Une construction amusante semble possible, mais comment la justifier ?
Voilà, si on trace les droites (AB) et (A'B')qui se coupent en un point O (si (AB) non // d), alors si on prend la droite (OB'A'), et qu'on la fait tourner (vers le haut), sses intersections avec (AA'), (BB') et la // passant par I, remontent sur ces droites ...

B' devient K, A' devient H, I' (non marqué) devient C ... [AB'] devient donc [AK], [BA'] devient [BH] et C devient I ! Alors ???

Désolé de t'avoir fait peur, mais la piste était là.

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-12-2021 17:45:31)

yoshi · 03-12-2021 17:39:21

B'soir,

Zdrass'tié (phonétique), tovaritch Bernard-Maths...
Sans Thalès, avec de bêtes calculs de Géométrie analytique de 3^e d'il y a 25 ans...

Bin oui, les réformes successives sont passées par là...

Je prends d comme axe des abscisses (AH) comme axe des ordonnées d'où H(0 :0)
Soient A(0 ; a ), B(c ; b) et K(c ; 0), a, b, c réels non nuls
Equation de (AK) : $y=-\dfrac a c x +a$

Equation de (BH): $y=\dfrac b c x$

Abscisse de I :
$\begin{cases}y&=-\dfrac a c x +a
\\
\\ y&=\dfrac b c x \end{cases}$

$\dfrac b c x =-\dfrac a c x +a$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac b c x +\dfrac a c x = a$
$\Leftrightarrow$
$ bx+ax = ac$
$\Leftrightarrow$
$ (a+b)x = ac$
$\Leftrightarrow$
$x_I=\dfrac{ a c}{a+b} $
d'où
$M\left(\dfrac{ a c}{a+b}\,;\,0\right)$

Equation de (AM)
Coefficient directeur : $\dfrac{-a}{\dfrac{ac}{a+b}}=-a \times \dfrac{a+b}{ac}=- \dfrac{a+b}{c}$
Ordonnée à l'origine : $a$
Soit :
$y =- \dfrac{a+b}{c}x+a$
Ordonnée du point d'abscisse x=c :
$y =- \dfrac{a+b}{c}\times c+a$
$\Leftrightarrow$
$y =-(a+b)+a=-b$
L'intersection D de (AM) avec (BK) a pour coordonnées:
$D(c\,; \, -b)$
$B(c\, ;\, b)$
Je constate que D est le symétrique de B par rapport à d.
M étant sur d, on a MB = MD
Donc
AD = AM +MD = AM+MB
Le trajet A-M-B ainsi trouvé est bien le plus court.

J'ai pas encore pu surmonter ma flemme d'attaquer Thalès...

@+

Dernière modification par yoshi (03-12-2021 17:48:04)

Bernard-maths · 03-12-2021 17:46:15

Bonsoir !

OUI, aussi !

ALORS Mouss ?

à +

Dernière modification par Bernard-maths (03-12-2021 17:47:24)

yoshi · 03-12-2021 18:10:44

Re,

Ça, c'était la version simple du problème...
Il y a un peu plus tordu :
A
x

_____________________P___________________ d
|
|
_____________________|____________________d'
N

B
x

ajouter une droite d' distincte de d et qui lui est parallèle,
Une rivière coule entre d et d'.
A et B sont de part de d'autre de la rivière, à distances inégales de d et d' et pas sur la même verticale.

Où placer le pont [PN], P sur d et N sur d', ledit pont étant bien entendu perpendiculaire à la rivière, pour que
1. Chacun des points A et B est à égale distance de l'entrée du pont
2. Le trajet B-N-P-A soit le plus court
Questions indépendantes

@+

Zebulor · 03-12-2021 19:20:55

Zdrasvoutié tovachirei Yoshi et Bernard,

yoshi a écrit :

B'soir,
$x_I=\dfrac{ a c}{a+b} $

En exploitant la voie analytique avec les dérivées - il y a des racines dans les calculs - cette abscisse répond (parmi d 'autres? )au problème..

Bernard-maths · 04-12-2021 09:37:18

Zdrasvouitié tovaritch Zebulor (itch ?) !

Nie gavariou parouski ! Mais mathématik oui ...

Je reviens sur AM+BM et AM²+BM².

Selon la figure en discussion #10, si l'origine du repère est le milieu de [HK] de longueur 2a, alors A(-a,b) et B(a,c), et M(x,0), alors AM²=(x+a)²+b², et BM²=(x-a)²+c².

AM²+BM²=(x+a)²+b²+(x-a)²+c² = 2 x² + 2 a² + b² + c² !

Le minimum est atteint pour x =0 dans tous les cac !? Ce qui n'est manifestement pas le cas général ... pour AM+BM.

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-12-2021 09:42:43)

Zebulor · 04-12-2021 11:06:57

Priviet !
Ok Bernard pour ton post #10, intéressant..
Je reviens sur un de tes posts :

Bernard-maths a écrit :

Les cogitations sur AM+MB minimum me semblent faire perdre du temps ... bien que j'ai écrit la fonction pour AM+MB, mais la dérivée donne des racines au dénominateur et ça devient complexe ... donc poubelle !

J'ai récupéré le déchet. En reprennant les coordonnées de Yoshi :

yoshi a écrit :

Je prends d comme axe des abscisses (AH) comme axe des ordonnées d'où H(0 :0)
Soient A(0 ; a ), B(c ; b) et K(c ; 0), a, b, c réels non nuls

Je pose $L(x)=AM+BM$
$L(x)=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(x-c)^2+b^2}$
Et après calculs qui se simplifient heureusement (je vous épargne les calculs avec la dérivée de $L$), $L$ trouve son extremum lorsque $x\sqrt {(x-c)^2+b^2}=(c-x)\sqrt {x^2+a^2}$..

De là en élevant au carré :
L'équation $x^2(x^2-2cx+c^2+b^2)=(c^2-2xc+x^2)(x^2+a^2)$ présente deux solutions
$x_1=\dfrac{ a c}{a+b}=x_I $ et $x_2=\dfrac{ a c}{a-b}$. Seule $x_1=\dfrac{ a c}{a+b}=x_I $ est solution de $x\sqrt {(x-c)^2+b^2}=(c-x)\sqrt {x^2+a^2}$

Pour le cas $a=b$, $M$ est sur la médiatrice du segment [AB], ce qui est cohérent..

Petite curiosité : la longueur minimale est $AM+BM=\sqrt{(a+b)^2+c^2}$ y a du triangle rectangle rectangle, parallélogrammes dans l 'air..ce qui donne une méthode de construction du point $M$

autre chose : lorsque $AM+BM$ minimal $\dfrac {AM}{BM}=\dfrac {a}{b}$ .. ($a$ et $b$ étant de même signe).. très riche ce sujet..(Thalès ?)
D'où $\dfrac {AM}{AH}=\dfrac {BM}{BK}$ sur la figure du post 10 de Bernard..où $M=C$..

Pas encore regardé la version plus tordue..

Dernière modification par Zebulor (05-12-2021 10:22:42)

jpp · 04-12-2021 13:13:43

Salut à tous ;

▼Si la rivière était un ruisseau

bridgslam · 06-12-2021 11:35:51

Bonjour,

Comme un point de la droite juste à côté de M doit faire varier le moins possible MA + MB, ne peut-on pas explorer l'idée que la droite doit être une tangente à une certaine ellipse de foyers A et B et passant par M?
Une idée qui m'est venue étant donné la propriété des ellipses avec un crayon et une ficelle...
Il ne doit pas y avoir des tonnes d'ellipses de foyers donnés et tangentes à une droite fixée, une fois trouvée on a alors M ?
En tous cas avec la propriété de bissectricité des tangentes à l' ellipse par rapport aux droites issues des foyers A et B passant par M, on trouve bien que les angles (D, MA) et (MB, D) doivent être égaux ( comme pour la lumière qui emprunte le trajet le plus rapide dans un milieu homogène en se réfléchissant sur D).

Une autre façon de voir les choses, donc, en utilisant l'ellipse, finalement une autre façon de faire si on connaît un peu les coniques...
Un petit schéma pour appuyer l'idée:

https://www.cjoint.com/c/KLglZ7acwHg

On peut alors selon ce système géométrique connaître en bonus toutes les droites pour lesquelles on a exactement ce minimum, il suffit
de prendre toutes les tangentes à cette ellipse...

Pour la construction géométrique, dans l'ordre :

- chercher le point M tels que les angles soient égaux ( propriété de la tangente à l'ellipse )
- cela donne l'ellipse d'équation AX+BX = AM+BM, la tangente en M est évidente
- on obtient toutes les droites avec lesquelles ce minimum a la valeur trouvée AM+BM : les tangentes à l'ellipse.

S'il y a un stock de rivières rectilignes auxquelles le loup (A) peut (et doit) aller s'abreuver avant de filer vers l'agneau (B) en s' épargnant des efforts, il pourra même d'un coup d' oeil choisir sa rivière préférée s'il connaît les ellipses...

https://www.cjoint.com/c/KLgnPPLSaNl

Alain

Dernière modification par bridgslam (06-12-2021 14:43:32)

Black Jack · 06-12-2021 12:06:42

Bonjour,

Dans un repère orthonormé, on place les points A(0 ; a) et B(b ; c) et on cherche le point M(X ; 0) tel que AM + BM soit minimal.
L'axe des abscisses est la droite d, et on doit avoir a et c de même signe pour respecter le fait que A et B sont d'un même coté de la droite d.

Résolution 1:
On place le point B' symétrique de B par rapport à d, on a alors B'(b;-c)
Equation de (AB') = y = (-(a+c)/b * x + a
Cette droite coupe d (axe des abscisses) en x = ab/(a+c)
On a donc le point M(0 ; ab/(a+c))

Résolution 2:
AM = sqrt(X²+a²)
BM = sqrt((x-b)²+c²)
f(x) = sqrt(X²+a²) + sqrt((x-b)²+c²)
Il faut chercher le min de f(x).

f'(x) = x/sqrt(x²+a²) + (x-b)/sqrt((x-b)²+c²))
Extremum pour f'(x) = 0 et x/sqrt(x²+a²) + (x-b)/sqrt((x-b)²+c²)) = 0 a pour solutions (merci à mon solver) x = ab/(a-c) OU x = ab/(a+c)
Une étude du signe de f'(x) (que je n'ai pas fait ... mais mon "singe" l'a fait, montre que x = ab/(a+b) est bien au minimum de f(x) -->
On a donc le point M(0 ; ab/(a+c))

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-12-2021 08:38:40

Plus court chemin - DM

#2 02-12-2021 13:02:43

Re : Plus court chemin - DM

#3 02-12-2021 14:11:52

Re : Plus court chemin - DM

#4 02-12-2021 16:11:14

Re : Plus court chemin - DM

#5 02-12-2021 19:11:22

Re : Plus court chemin - DM

#6 02-12-2021 19:34:37

Re : Plus court chemin - DM

#7 02-12-2021 21:16:33

Re : Plus court chemin - DM

#8 03-12-2021 09:18:03

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#9 03-12-2021 10:06:45

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#10 03-12-2021 11:03:56

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#11 03-12-2021 14:20:50

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#12 03-12-2021 17:32:38

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#15 03-12-2021 18:10:44

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#17 04-12-2021 09:37:18

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#20 06-12-2021 11:35:51

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