Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Dans un repère orthonormé, on place les points A(0 ; a) et B(b ; c) et on cherche le point M(X ; 0) tel que AM + BM soit minimal.
L'axe des abscisses est la droite d, et on doit avoir a et c de même signe pour respecter le fait que A et B sont d'un même coté de la droite d.

Résolution 1:
On place le point B' symétrique de B par rapport à d, on a alors B'(b;-c)
Equation de (AB') = y = (-(a+c)/b * x + a
Cette droite coupe d (axe des abscisses) en x = ab/(a+c)
On a donc le point M(0 ; ab/(a+c))

Résolution 2:
AM = sqrt(X²+a²)
BM = sqrt((x-b)²+c²)
f(x) = sqrt(X²+a²) + sqrt((x-b)²+c²)
Il faut chercher le min de f(x).

f'(x) = x/sqrt(x²+a²) + (x-b)/sqrt((x-b)²+c²))
Extremum pour f'(x) = 0 et x/sqrt(x²+a²) + (x-b)/sqrt((x-b)²+c²)) = 0 a pour solutions (merci à mon solver) x = ab/(a-c) OU x = ab/(a+c)
Une étude du signe de f'(x) (que je n'ai pas fait ... mais mon "singe" l'a fait, montre que x = ab/(a+b) est bien au minimum de f(x) -->
On a donc le point M(0 ; ab/(a+c))

Salut à tous ;

Zdrasvouitié tovaritch Zebulor (itch ?) !

Nie gavariou parouski ! Mais mathématik oui ...

Je reviens sur AM+BM et AM²+BM².

Selon la figure en discussion #10, si l'origine du repère est le milieu de [HK] de longueur 2a, alors A(-a,b) et B(a,c), et M(x,0), alors AM²=(x+a)²+b², et BM²=(x-a)²+c².

AM²+BM²=(x+a)²+b²+(x-a)²+c² = 2 x² + 2 a² + b² + c² !

Le minimum est atteint pour x =0 dans tous les cac !? Ce qui n'est manifestement pas le cas général ... pour AM+BM.

Cordialement, Bernard-maths

Re,

Ça, c'était la version simple du problème...
Il y a un peu plus tordu :
                                                     A
                                                     x

_____________________P___________________ d
                                      |
                                      |
_____________________|____________________d'
                                      N

           B
            x

ajouter une droite d' distincte de d et qui lui est parallèle,
Une rivière coule entre d et d'.
A et B sont de part de d'autre de la rivière, à distances inégales de d et d' et pas sur la même verticale.

Où placer le pont [PN], P sur d et N sur d', ledit pont étant bien entendu perpendiculaire à la rivière, pour que
1. Chacun des points A et B est à égale distance de l'entrée du pont
2. Le trajet B-N-P-A soit le plus court
Questions indépendantes

@+

B'soir,

Zdrass'tié (phonétique), tovaritch Bernard-Maths...
Sans Thalès, avec de bêtes calculs de Géométrie analytique de 3^e d'il y a 25 ans...

Bin oui, les réformes successives sont passées par là...

Je prends d comme axe des abscisses (AH) comme axe des ordonnées d'où H(0 :0)
Soient  A(0 ; a ), B(c ; b) et K(c ; 0), a, b, c réels non nuls
Equation de (AK) : $y=-\dfrac a c x +a$

Equation de (BH): $y=\dfrac b c x$

Abscisse de I :
$\begin{cases}y&=-\dfrac a c x +a
\\
\\ y&=\dfrac b c x \end{cases}$

$\dfrac b c x =-\dfrac a c x +a$
         $\Leftrightarrow$
$\dfrac b c x +\dfrac a c x = a$
         $\Leftrightarrow$
$ bx+ax = ac$
         $\Leftrightarrow$
$ (a+b)x = ac$
         $\Leftrightarrow$
$x_I=\dfrac{ a c}{a+b} $
d'où
$M\left(\dfrac{ a c}{a+b}\,;\,0\right)$

Equation de (AM)
Coefficient directeur : $\dfrac{-a}{\dfrac{ac}{a+b}}=-a \times \dfrac{a+b}{ac}=- \dfrac{a+b}{c}$
Ordonnée à l'origine : $a$
Soit :
$y =- \dfrac{a+b}{c}x+a$
Ordonnée du point d'abscisse x=c :
$y =- \dfrac{a+b}{c}\times c+a$
         $\Leftrightarrow$
$y =-(a+b)+a=-b$
L'intersection D de (AM) avec (BK) a pour coordonnées:
$D(c\,; \, -b)$
$B(c\, ;\, b)$
Je constate que D est le symétrique de B par rapport à d.
M étant sur d, on a MB = MD
Donc
AD = AM +MD = AM+MB
Le trajet A-M-B ainsi trouvé est bien le plus court.

J'ai pas encore pu surmonter ma flemme d'attaquer Thalès...

@+

Re,

1. Si tu veux dire que ma proposition est fausse, alors je viens de refaire le dessin via le soft de Fred, Geolabo, jamais pris en défaut depuis sa création. Explicite ta pensée s'il te plaît.
Ma construction :
je trace une droite d quelconque.
sur cette droite je place 2 points H et K quelconques
je trace les deux perpendiculaires en H et $\Delta$' en K à la droite d.
Du même côté par rapport à d, je place A quelconque sur $\Delta$ et B quelconque sur $\Delta$'
Je trace les diagonales du trapèze rectangle : elles se coupent en I.
Je place B' le symétrique de B par rapport à d.
Je trace la demi-droite [AM) : apparemment, elle passe bien par B'
Je zoome au maximum : même constat...

Et maintenant
Je déplace A  sur $\Delta$ en restant du même côté de d que B, même constat, y compris avec zoom (et j'ai un écran 16/10 23" résolution 1980 x 1200).
Idem si c'est B que je déplace.
J'ai fait un test avec AHKB rectangle : la démo dans ce cas est évidente...

Vois-tu un problème avec ma construction ?
De toutes façons, je m'en vais faire tous les calculs à la main pour être fixé...

@+

Bonjour,

AM+MB peut être minimum sans que AM²+MB² le soit nécessairement - et réciproquement - c'est ce que Paco indique..

re,
@Paco. Ce doute m'avait effleuré .. et voilà l'exemple tout trouvé.
Bonne soirée !