Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Periaru

Invité

Les nombres complexes

Bonsoir , je bloque sur la question 3 .

50 On considère les complexes complexes a = √2+i√2 et b = √3-i.

1. a) Écrire a et b sous forme trigonométrique.

b) Placer en justifiant dans un plan rapporté à un re père orthonormé les points A(a), B(b) et C(a + b)

2. Mettre ab sous forme algébrique et puis sous forme trigonométrique, puis déduire cos et sin 12

3.

a) Mettre sous forme trigonométrique a/b puis

1+ a/b

b) En déduire la forme trigonométrique de a + b

Merci d'avance .

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 514

Re : Les nombres complexes

Bonjour,

Coup de pouce :

3)
a)

a = √2+i√2 et b = √3-i

|a/b| = |a|/|b|
arg(a/b) = arg(a) - arg(b)

|a| = ...
|b| = ...
|a/b| = ... (tu devrais trouver 1)

arg(a) = arctan(V2/V2) = Pi/4 (car Reel de a > 0)
arg(b) = ...
arg(a/b) = ...

a/b = |a/b|*(cos(arg(a/b)) + i*sin(arg(a/b)))

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Les nombres complexes

Bonjour,

je préfère d'abord voir si pour les Q 1 et 2, Perariu a les bons résultats en essayant de ne pas répondre aux questions laissées en suspens par Black Jack (pas évident)...

Question 1 a)
$a=2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$
$b=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$

Question 2
L'écriture algébrique est un simple exercice de développement...
$ab= 4\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)$
L'écriture algébrique est un simple exercice de développement...

La question 3. b m'a interpellé...
Le seul rapport que j'aie vue entre la 3a) et la 3b) est :
$1+\dfrac a b=\dfrac{a+b}{b}$
D'après la 3a) pour $1+\dfrac a b$, on a une écriture du type $1+\cos\alpha+i\sin\alpha$
Donc $\dfrac{a+b}{b}=1+\cos\alpha+i\sin\alpha$
Et on connait $b$ et $1+\left(\dfrac a b\right)$ (parenthèses mises volontairement).
J'ai développé, et après qq calculs pas très simples, je trouve $a+b$...

Mais, je suis un peu dubitatif, il doit y avoir plus simple (je sais que je ne suis pas toujours simple du 1er coup !), parce que les calculs jusque là n'étaient pas trop pénibles à faire et là, la question détone un peu... Et encore je raccourcis les calculs en utilisant l'écriture exponentielle.

Perariu, as-tu déjà vu en cours que $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ peut aussi s'écrire $z=r\,\mathrm e^{i\alpha}$ ?

@+

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 514

Re : Les nombres complexes

Rebonjour,

Pour trouver (a+b) ... il y a d'autres méthodes que celle suggérée qui ne me semble pas très directe.

On a directement (a+b) = V2 + V3 + i.(V2-1)

|a+b| est facile à calculer.

Pour arg(a+b) = Phi, on a tan(Phi) = (V2-1)/(V2+V3)

Ensuite on calcule tan(2Phi) = 2.tan(Phi)/(1 - tan²(Phi)) = ...

et puis tan(4Phi) = 2.tan(2Phi)/(1 - tan²(2.Phi)) ... et on arrive à tan(4Phi) = 1/V3 avec Phi dans le 1er quadrant --> 4 Phi = Pi/6 et Phi = Pi/24

... Mais ce n'est pas la méthode suggérée.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Les nombres complexes

Re,

Oui, via la tan c'est plus simple...
Par contre à partir du dessin demandé,  J'ai $\overrightarrow{OA}\,(a)$, $\overrightarrow{OB}\,(b)$ et  $\overrightarrow{OC}\,(a+b)$
Avec un peu de géométrie, on trouve très vite $arg(a+b)$.
Quant à $|a+b|\,(=OC)$ c'est 2OM, avec M milieu de [AB] + AOB isocèle en O -->, un petit calcul de trigo niveau 3e et je l'ai.
C'est comme cela que j'ai vérifié mes calculs avec la méthode que j'ai suggérée...

Et je suis à peu près persuadé que la méthode que j'ai employée pour déduire a+b de $1+\dfrac a b$ n'est pas la plus simple, parce qu'elle est vraiment pénible : sa pénibilité est trop disproportionnée par rapport aux calculs précédents, alors je me dis qu'il y a un "truc" qui doit m'échapper...

@+

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Les nombres complexes

Bonjour,

a/b étant de module 1, la forme exponentielle de 1 + a/b s'en déduit facilement en factorisant par le nombre complexe de module 1 et d'argument moitié.

Alain

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 514

Re : Les nombres complexes

Bonjour,

Ainsi ...

|a/b| = 1 et arg(a/b) = arg(a) - arg(b) = Pi/4 - (-Pi/6) = 5.Pi/12

--> 1 + a/b = 1 + cos(5Pi/12) + i.sin(5Pi/12)
1 + a/b = 2cos²(5Pi/24) + 2i.sin(5Pi/24).cos(5Pi/24)
1 + a/b = 2.cos(5Pi/24) * (cos(5Pi/24) + i.sin(5Pi/4))

cos(5Pi/24) > 0 ---> arg(1 + a/b) = 5Pi/24

arg((a+b)/b) = arg(a+b) - arg(b) = 5Pi/24

arg(a+b) = 5Pi/24 + arg(b)
arg(a+b) = 5Pi/24 + (-Pi/6) = Pi/24
*******

(a+b) = V2 + V3 + i.(V2-1)
|a+b|² = (V2+V3)² + (V2-1)² = 2+3+2V6 + 2 + 1 - 2V2 = 8+2(V6-V2)

a+b = V(8+2(V6-V2)) * (cos(Pi/24) + i*sin(Pi/24))

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Les nombres complexes

Bonjour,

Quant à moi, j'avais fait ainsi :
$a=2e^{i\frac{\pi}{4}}$  ;  $b=2e^{-i\frac{\pi}{6}}$ d'où $\dfrac a b=\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{4}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}}=e^{i\frac{\pi}{4}} \times e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\right)}=e^{i\frac{5\pi}{12}}$

$1+\frac a b=1+e^{i\frac{5\pi}{12}}$

$a+b=b(1+e^{i\frac{5\pi}{12}})=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\left(1+e^{i\frac{5\pi}{12}}\right)$
D'où
$a+b=2\left[\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]$

Soit
$a+b=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\right]$

Maintenant, j'avais fait appel à
$\cos p+\cos q=2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$ 
et
$\sin p-\sin q=2 \sin\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)$
D'où
$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left(\dfrac{\frac{\pi}{4}+\frac {\pi}{6}}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\frac{\pi}{4}-\frac {\pi}{6}}{2}\right)=2\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\cos\left(\frac{\pi}{24}\right)$

ET
$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left(\dfrac{\frac{\pi}{4}+\frac {\pi}{6}}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\frac{\pi}{4}-\frac {\pi}{6}}{2}\right)=2\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)$

Je remplace et factorise par $\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)$ :
$a+b=4\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\left[\cos\left(\frac{\pi}{24}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\right]$

Et ne restait plus qu'à calculer la valeur exacte de $4\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)$

La fin était longue et fastidieuse...

@+

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Les nombres complexes

Bonjour,

[tex]a+b = b( 1 + a/b)[/tex] il suffit donc de trouver 1 + a/b, et sachant que a/b est de la forme [tex]e^{i\theta}[/tex] on a alors
[tex]1 + e^{i\theta} = e^{i\theta/2}( e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2})[/tex] ce qui simplifie les calculs, en passant à la trigo, sin, cos
le plus tard possibe.

Alain

Dernière modification par bridgslam (03-09-2021 14:58:00)