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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 03-09-2021 14:57:34
Bonjour,
[tex]a+b = b( 1 + a/b)[/tex] il suffit donc de trouver 1 + a/b, et sachant que a/b est de la forme [tex]e^{i\theta}[/tex] on a alors
[tex]1 + e^{i\theta} = e^{i\theta/2}( e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2})[/tex] ce qui simplifie les calculs, en passant à la trigo, sin, cos
le plus tard possibe.
Alain
- yoshi
- 29-08-2021 13:52:19
Bonjour,
Quant à moi, j'avais fait ainsi :
$a=2e^{i\frac{\pi}{4}}$ ; $b=2e^{-i\frac{\pi}{6}}$ d'où $\dfrac a b=\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{4}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}}=e^{i\frac{\pi}{4}} \times e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\right)}=e^{i\frac{5\pi}{12}}$
$1+\frac a b=1+e^{i\frac{5\pi}{12}}$
$a+b=b(1+e^{i\frac{5\pi}{12}})=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\left(1+e^{i\frac{5\pi}{12}}\right)$
D'où
$a+b=2\left[\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]$
Soit
$a+b=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\right]$
Maintenant, j'avais fait appel à
$\cos p+\cos q=2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$
et
$\sin p-\sin q=2 \sin\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)$
D'où
$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left(\dfrac{\frac{\pi}{4}+\frac {\pi}{6}}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\frac{\pi}{4}-\frac {\pi}{6}}{2}\right)=2\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\cos\left(\frac{\pi}{24}\right)$
ET
$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left(\dfrac{\frac{\pi}{4}+\frac {\pi}{6}}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\frac{\pi}{4}-\frac {\pi}{6}}{2}\right)=2\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)$
Je remplace et factorise par $\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)$ :
$a+b=4\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\left[\cos\left(\frac{\pi}{24}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\right]$
Et ne restait plus qu'à calculer la valeur exacte de $4\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)$
La fin était longue et fastidieuse...
@+
- Black Jack
- 29-08-2021 10:38:48
Bonjour,
Ainsi ...
|a/b| = 1 et arg(a/b) = arg(a) - arg(b) = Pi/4 - (-Pi/6) = 5.Pi/12
--> 1 + a/b = 1 + cos(5Pi/12) + i.sin(5Pi/12)
1 + a/b = 2cos²(5Pi/24) + 2i.sin(5Pi/24).cos(5Pi/24)
1 + a/b = 2.cos(5Pi/24) * (cos(5Pi/24) + i.sin(5Pi/4))
cos(5Pi/24) > 0 ---> arg(1 + a/b) = 5Pi/24
arg((a+b)/b) = arg(a+b) - arg(b) = 5Pi/24
arg(a+b) = 5Pi/24 + arg(b)
arg(a+b) = 5Pi/24 + (-Pi/6) = Pi/24
*******
(a+b) = V2 + V3 + i.(V2-1)
|a+b|² = (V2+V3)² + (V2-1)² = 2+3+2V6 + 2 + 1 - 2V2 = 8+2(V6-V2)
a+b = V(8+2(V6-V2)) * (cos(Pi/24) + i*sin(Pi/24))
- bridgslam
- 28-08-2021 15:17:48
Bonjour,
a/b étant de module 1, la forme exponentielle de 1 + a/b s'en déduit facilement en factorisant par le nombre complexe de module 1 et d'argument moitié.
Alain
- yoshi
- 23-08-2021 19:29:54
Re,
Oui, via la tan c'est plus simple...
Par contre à partir du dessin demandé, J'ai $\overrightarrow{OA}\,(a)$, $\overrightarrow{OB}\,(b)$ et $\overrightarrow{OC}\,(a+b)$
Avec un peu de géométrie, on trouve très vite $arg(a+b)$.
Quant à $|a+b|\,(=OC)$ c'est 2OM, avec M milieu de [AB] + AOB isocèle en O -->, un petit calcul de trigo niveau 3e et je l'ai.
C'est comme cela que j'ai vérifié mes calculs avec la méthode que j'ai suggérée...
Et je suis à peu près persuadé que la méthode que j'ai employée pour déduire a+b de $1+\dfrac a b$ n'est pas la plus simple, parce qu'elle est vraiment pénible : sa pénibilité est trop disproportionnée par rapport aux calculs précédents, alors je me dis qu'il y a un "truc" qui doit m'échapper...
@+
- Black Jack
- 23-08-2021 18:39:04
Rebonjour,
Pour trouver (a+b) ... il y a d'autres méthodes que celle suggérée qui ne me semble pas très directe.
On a directement (a+b) = V2 + V3 + i.(V2-1)
|a+b| est facile à calculer.
Pour arg(a+b) = Phi, on a tan(Phi) = (V2-1)/(V2+V3)
Ensuite on calcule tan(2Phi) = 2.tan(Phi)/(1 - tan²(Phi)) = ...
et puis tan(4Phi) = 2.tan(2Phi)/(1 - tan²(2.Phi)) ... et on arrive à tan(4Phi) = 1/V3 avec Phi dans le 1er quadrant --> 4 Phi = Pi/6 et Phi = Pi/24
... Mais ce n'est pas la méthode suggérée.
- yoshi
- 23-08-2021 17:23:00
Bonjour,
je préfère d'abord voir si pour les Q 1 et 2, Perariu a les bons résultats en essayant de ne pas répondre aux questions laissées en suspens par Black Jack (pas évident)...
Question 1 a)
$a=2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$
$b=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$
Question 2
L'écriture algébrique est un simple exercice de développement...
$ab= 4\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)$
L'écriture algébrique est un simple exercice de développement...
La question 3. b m'a interpellé...
Le seul rapport que j'aie vue entre la 3a) et la 3b) est :
$1+\dfrac a b=\dfrac{a+b}{b}$
D'après la 3a) pour $1+\dfrac a b$, on a une écriture du type $1+\cos\alpha+i\sin\alpha$
Donc $\dfrac{a+b}{b}=1+\cos\alpha+i\sin\alpha$
Et on connait $b$ et $1+\left(\dfrac a b\right)$ (parenthèses mises volontairement).
J'ai développé, et après qq calculs pas très simples, je trouve $a+b$...
Mais, je suis un peu dubitatif, il doit y avoir plus simple (je sais que je ne suis pas toujours simple du 1er coup !), parce que les calculs jusque là n'étaient pas trop pénibles à faire et là, la question détone un peu... Et encore je raccourcis les calculs en utilisant l'écriture exponentielle.
Perariu, as-tu déjà vu en cours que $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ peut aussi s'écrire $z=r\,\mathrm e^{i\alpha}$ ?
@+
- Black Jack
- 23-08-2021 12:36:04
Bonjour,
Coup de pouce :
3)
a)
a = √2+i√2 et b = √3-i
|a/b| = |a|/|b|
arg(a/b) = arg(a) - arg(b)
|a| = ...
|b| = ...
|a/b| = ... (tu devrais trouver 1)
arg(a) = arctan(V2/V2) = Pi/4 (car Reel de a > 0)
arg(b) = ...
arg(a/b) = ...
a/b = |a/b|*(cos(arg(a/b)) + i*sin(arg(a/b)))
- Periaru
- 22-08-2021 21:31:54
Bonsoir , je bloque sur la question 3 .
50 On considère les complexes complexes a = √2+i√2 et b = √3-i.
1. a) Écrire a et b sous forme trigonométrique.
b) Placer en justifiant dans un plan rapporté à un re père orthonormé les points A(a), B(b) et C(a + b)
2. Mettre ab sous forme algébrique et puis sous forme trigonométrique, puis déduire cos et sin 12
3.
a) Mettre sous forme trigonométrique a/b puis
1+ a/b
b) En déduire la forme trigonométrique de a + b
Merci d'avance .